数学与应用数学专业论文

毕业论文题目函数极值求法及其应用专业数学与应用数学函数极值求法及其应用摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词:函数极值;条件极值;泛函极值;应用TheExtremeValueMethodandApplicationofFunctionMAFurong(SchoolofMathematicsandStatisticsTianshuiNormalUniversity,Tianshui741000,China)Abstract:Theextremeoffunctionisanimportantcontentofthefunctionnaturalformandhasagenerallyapplicationinalotofmathproblem.Forthisreason,thepapernotonlydiscussedtheextremevaluemethodandapplicationofthefunctionandmultiplefunction,butalsodiscussedtheextremevaluemethodandapplicationofthefunctionandmultiplefunction,butalsotakenasimplediscussionoffunctionalextremevaluethemethod,andgivetherelevantapplicationatthesametime.Keywords:theextremevalueoffunction,conditionalextreme,functionalextreme,Application目录引言...............................................................................................................................11.一元函数的极值........................................................................................................11.1一元函数的极值第一充分条件.....................................................................11.2一元函数的极值第二充分条件.....................................................................21.3一元函数的极值第三充分条件.....................................................................32.多元函数的极值........................................................................................................42.1二元函数极值.................................................................................................42.1.1二元函数取极值的充分条件..............................................................42.2n元函数极值.................................................................................................52.2.1.利用二次型求多元函数极值..............................................................52.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值..............................................62.2.3利用方向导数判断多元函数的极值..................................................72.3函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)...............................................83.条件极值....................................................................................................................93.1条件极值的解法.............................................................................................93.2利用条件极值证明不等式...........................................................................124.泛函极值及其应用..................................................................................................134.1泛函的定义...................................................................................................134.2相对极值.......................................................................................................134.2.1绝对极值与相对极值的定义............................................................134.2.2相对极值的必要条件........................................................................134.3泛函极值的应用..........................................................................................154.3.1最小旋转面问题...............................................................................154.3.2最速降线问题..................................................................................15结束语.........................................................................................................................17参考文献.....................................................................................................................18致谢.............................................................................................................................19函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词:函数极值;条件极值;泛函极值;应用引言函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1．一元函数的极值定义设函数()fx在0x的某领域U（0x）内有定义.如果对于取心邻域U（0x）内的任x,有()fx0()fx或()fx0()fx.那么就称0()fx是函数()fx的一个极大值或极小值.(将改为或将改为,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数()fx在0x处连续且在0x的某去心邻域U（0x）内可导.（1）若x∈(0x,0x)时,'()fx0,而x∈(0x,0x)时,'()fx0,则()fx在0x处取极大值.（2）若x∈(0x,0x)时,'()fx0,而x∈(0x,0x)时,'()fx0,则()fx在0x处取极小值.（3）若x∈U(x,)时,'()fx符号保持不变,则()fx在0x处没有极值.例1.求()fx=23(2)(1)xx的极值.解先求导数'322()2(2)(1)(2)3(1)fxxxxx2(2)(1)(54)xxx再求出驻点:当'()0fx时,4215x、、.判断函数的极值如下表所示:x(,2)24(2,)5454(,1)51(1,)'()fx+00+0+极大极小无所以在x=-2时取极大值,在45时取极小值.1.2一元函数的极值第二充分条件设函数()fx在0x点具有二阶导数,且'0()fx=0,''0()fx≠0.则:（1）当''0()fx0,函数()fx在0x点取极大值.（2）当''0()fx0,函数()fx在0x点取极小值.（3）当''0()fx=0,其情形不一定.例2.求函数23()(1)1fxx的极值.解'22()6(1)fxxx由'()0fx得()fx的驻点为101x、、.''0()fx=226(1)(51)xxx,''(0)f60,''''(1)(1)0ff所以()fx在0x处取得极小值(0)0f,在1,1xx处由第二充分条件无法判定,由第一充分条件得:()fx在1,1xx处都没有极值.1.3一元函数的极值第三充分条件设任意函数()fx在0x有n阶导数,且直到1n导数都为零,而n阶导数不为零.（1）当n为偶数时()fx在0x取极值,当()fn(0x)0时取极大值,()fn(0x)0时取极小值.（2）当n为奇数时()fx在0x点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.总结一元函数求极值的方法步骤（1）求可疑点,可疑点包括（ⅰ）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）;（ⅱ）导数不存在的点;（ⅲ）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是（ⅰ）直接利用定义判