机械故障诊断学第三章：信号的频域分析

1第三章：信号的频域分析方法§3.1频域分析的基本概念§3.2傅氏变换§3.3提高谱分析精度的一些方法§3.4脉冲响应与传递函数§3.5频谱的表示方法及频域特征提取方法§3.6倒谱分析方法§3.7全息谱分析技术§3.1频域分析的基本概念一.概述频域分析是机械故障诊断中用得昀广泛的信号处理方法之一。频谱分析：利用某种变换将复杂信号分解为简单信号的叠加。例：傅氏变换→把复杂信号分解为有限个或无限个频率的简谐分量；沃尔什变换→把复杂信号分解为不同的方波。2一.概述频谱：将动态信号的频率成分的幅值、相位、与频率的关系表达出来的图形。频谱有：离散谱——与周期性、准周期性信号对应；连续谱——与非周期信号及随机信号对应，用谱密度二.周期信号的频谱周期信号：x(t)＝x(t+nT)其中T——周期，n——整数。可展开成傅氏级数：()∑∞=++=1002cos)(kkktkfAAtxϕπ(3－1)3二.周期信号的频谱上式表明：周期分量可以分解为无限多个频率f0为基频的整数倍的谐波分量之和。式中：()T12cos0000=−−+−−ffAtkfAAkkkk－－基频－－相位振幅为基频的整数倍－－谐波分量直流分量ϕϕπ二.周期信号的频谱当周期信号只包含有限个谐波分量时，只有对应的Ak≠0，其余为0。通常采用谱图的形式来表示周期信号的谐波分量。昀基本的谱图有：幅值谱——各谐波分量的振幅Ak与频率的图示关系；相位谱——各谐波分量的相位φk与频率的图示关系。4二.周期信号的频谱X(t)A(f)f02f03f0φ(f)00fff0周期信号的傅氏级数分解示意图二.周期信号的频谱例：x(t)=5cos2Лf0t只有一个谐波分量∴对应的幅值谱上只有一根谱线，相位谱上对应的相位为00x(t)=5cos2Лf0t＋3sin6Лf0t有两个谐波分量∴对应的幅值谱上有两根谱线，相位谱上对应的相位为00、900。5二.周期信号的频谱AkAkφkφkf0f03f0ffffx(t)=5cos2Лf0tx(t)=5cos2Лf0t＋3sin6Лf0t180o90o-90o-180o180o90o-90o-180o二.周期信号的频谱各谐波分量叠加为复杂波形时，相位很重要。当各分量的Ak不变、φk改变时，会使合成后的信号波形变化很大。信号总能量为各谐波分量与直流分量能量之和，即x(t)的均方值为：∑∞=+=1220221kkrmsAAx6二.周期信号的频谱傅氏级数也可以写成复指数函数形式。根据欧拉公式ftjfteftjπππ2sin2cos2±=±)(212cos22ftjftjeeftπππ+=−)(212sin22ftjftjeejftπππ−=−02()(0,1,2,...)jkftknxtAekπ∞=−∞==±±∑（3－1）可以表示成如下形式：(3－2)二.周期信号的频谱其中，Ak是展开系数，其计算公式如下：02221()TjftTkAxtedtTπ−−=∫（3－3）式中：Ak为复数，由周期信号x(t)确定，它综合反映了n次谐波的幅值及初相信息7二.周期信号的频谱周期信号的频谱的特点：a.离散性b.谐波性c.收敛性周期信号的复频谱：其实频谱总是偶对称的；其虚频谱总是奇对称的。三.非周期信号的频谱非周期信号（如瞬态信号、脉冲信号等）的频谱必须用连续谱表示。∵非周期信号可看作周期无穷大（T→∞）的周期信号，其基频趋向于0（f→0），因此，其谐波分量的间隔将无穷小，其频谱为连续谱。∴对非周期信号不能用幅值谱的概念，需要用谱密度的概念。8三.非周期信号的频谱振幅ff0001/T2/T3/Tftt0T振幅A10.50a.衰减振动波形及频谱b.半正弦脉冲波形及频谱非周期信号的波形及频谱│X(f)││X(f)│三.非周期信号的频谱非周期信号x(t)的幅值谱密度和相位谱可以通过傅氏变换得到：()()2jftXfxtedtπ∞−−∞=∫()()2jftxtXfedfπ∞−∞=∫()()()()()1argjxtXfXffXfφ=−=式中：虚数单位；尽管为实数，其傅氏变换一般为复数；其模为幅值谱密度；其幅角为相位谱密度。X(f)的傅氏逆变换为：（3－4）（3－5）9三.非周期信号的频谱πω2f=如果把代入式（3－4）、（3－5）可得：dtetxXtjωπω−∞+∞−∫=)(21)(ωωωdeXtxtj)()(∫+∞∞−=)(2)(ωπXfX=（3－6）（3－7）（3－8）)(fX)(tx称为的连续频谱。一般)(fX是复函数。()()()jfXfXfeφ=（3－9）三.非周期信号的频谱()()()()()()()()()()()()相似＋与：＝得：取实部由：－2costx2costx2sin2cos1002∑∫=∞∞++=++++=nkkkfftjtkfAAdffftfXfftjffteϕπϕπϕπϕπϕπ区别：│X(f)│代表幅值谱密度，是单位频带上的幅值，与信号幅值的量纲不一样。Ak代表幅值谱，量纲与信号幅值的量纲一样。()()(2)()jftfxtXfedfπφ∞+−∞=∫式（3－9）代入（3－5）得：（3－10）10三.非周期信号的频谱X(t)与│X(f)│之间存在：()()∫∫∞∞−∞∞−=(22巴赛伐等式）dffXdttx上式为总能量的频谱表达式，左边为X(t)在（－∞，＋∞）之间的总能量，右边│X(f)│2称为X(t)的能谱密度。(3－11)三.非周期信号的频谱∵许多时间函数（例如：正弦函数）的总能量无限，但其功率有限。∴考虑在（－∞，＋∞）上的平均功率：()()()()的截尾函数为txt0tx21limT2⎪⎩⎪⎨⎧≤=∫−∞→TTtxtdttxTTTTT其傅氏变换为：()()()∫∫−∞∞−−−==TTftjTftjTdtetxdtetxTfXππ22,（3－12）11三.非周期信号的频谱它的巴赛伐等式为:()()∫∫∞∞−∞∞−=,22dfTfXdttxT可得：()()∫∫∞∞−∞∞−∞→∞→=,21lim21lim22dfTfXTdttxTTTT上式左边为X(t)在（－∞，＋∞）上的平均功率，右边的被积式为平均功率谱密度，简称功率谱密度。记作：()()2,21limTfXTfSTx∞→=(3－13)(3－14)四.平稳随机信号的频谱∵平稳随机信号不是周期信号∴其频谱应为连续谱又∵样本曲线的波形各不相同∴幅值谱没有意义∴平稳随机信号的频谱是指功率谱密度。12四.平稳随机信号的频谱1.自谱密度：()()[]21limfXETfSTx∞→=()()[]221limωπωXETSTx∞→=或：自谱密度函数的性质：①()fSx是实的非负偶函数②()()()()的傅氏逆变换是的傅氏变换，是fSRRfSxxxxττ(3－15)四.平稳随机信号的频谱()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−dfefSdeRfSfjxfjxxτπτπτττ2x2R()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωωπτττωωτωτdeSdeRSjxjxx21Rx∵()()均为实偶函数、τωxxRS或即：∴可用的实部余弦函数来代替ωτje()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−ωωτωπττωττωdSdRSxxxcos21Rcosx即：自谱密度与自相关函数是一个傅氏变换对。(3－16)13四.平稳随机信号的频谱又有巴赛伐等式：信号时域中的总功率等于频域中的总功率。得：()()()∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−==21T21122ωωπωωπdSdXdttxTPx＝()()/2TXSxωω=上式表明了功率谱与幅值谱的关系。(3－17)四.平稳随机信号的频谱可见，要得到信号x(t)的功率谱有两条途径：相关图法——周期图法——()()ωτxxSR，再求先求()()ωωxSX，再求先求14四.平稳随机信号的频谱Sx(f)Sx(f)Sx(f)Sx(f)ffff（a)窄带随机噪声的功率谱密度(b)宽带随机噪声的功率谱密度（d）正弦波加随机噪声的功率谱密度(c)白噪声的功率谱密度平稳随机信号的功率谱密度四.平稳随机信号的频谱2.互谱密度()()∫∞∞−−=ττωωτdeRSjxyxy互谱密度()ωxyS为复数。()()()ωωωxyxyxyjQCS+=()()－－重谱密度－－共谱密度ωωxyxyQC(3－18)（3－19）15四.平稳随机信号的频谱()的幅值为ωxxS()()()ωωω22xyxyxyQCS+=相位：()[]ωωθxyxyxyCQtgarg=互谱密度函数的标准化形式称作凝聚函数()()()()ωωωωyxxyxySSSr/22=()102≤≤ωxyr(3－20)§3.2傅氏变换一.傅氏变换的基本性质若()()()()∫∫∞∞−∞∞−−==dtefXtxdtetxfXftjftjππ22则：称x(t)与X(f)为傅氏变换对。记作：x(t)←→X(f)X(f)为x(t)的傅氏变换；x(t)为X(f)的傅氏逆变换。（3－21）（3－22）16一.傅氏变换的基本性质1.线性叠加性若：x1(t)、x2(t)的傅氏变换为：X1(f)、X2(f)则：x1(t)＋x2(t)的傅氏变换为：X1(f)＋X2(f)()()()()()()()fXfXdtetxdtetxdtetxtxftjftjftj212221221+=+=+∫∫∫∞∞−−∞∞−−−∞∞−πππ一般：C1x1(t)＋C2x2(t)←→C1X1(f)＋C2X2(f)C1、C2为常数。二.傅氏变换2对称性如果：x(t)←→X(f)则：也就是说：如果X(f)是信号x(t)的谱，则：的谱是。()()xtXf±↔m()xt±()Xfm17二.傅氏变换3.尺度变换如果：x(t)←→X(f)令：t’=kt，其中k为大于0的常数()⎟⎠⎞⎜⎝⎛←→kfXkktx1则：()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−∞∞−∞∞−−∫∫kfXkktdetxdtektxtkfjtj1'2'22'ππ即：时间尺度扩展或压缩k倍，相应的频率尺度压缩到1/k或扩展k。随时间尺度的压缩或扩展，频域的幅值也扩大或缩小k倍。所以：频域曲线下的面积保持不变。同理：()kfXktxk←→⎟⎠⎞⎜⎝⎛1一.傅氏变换的基本性质4.时移定理如果：x(t)←→X(f)则：()()020ftjefXttxπ−←→−令：s＝t－t0()()()()()()000022022222jfstjftjftjfsjftjfsjftxttedtxsedsxseedsexsedseXfπππππππ∞∞−+−−∞−∞∞−−−∞∞−−−∞−−====∫∫∫∫即：时间位移引起相角Φ(f)的变化，但不改变傅氏变换的大小。18一.傅氏变换的基本性质5.频移定理()()020ffXetxtfj−←→π如果X(f)的自变量移动一个常量f0，其傅氏逆变换x(t)要乘以，产生调制现象，即x(t)与cos2лf0t相乘。x(t)X(f)ttx(t)cos2лf0tfff0[X(f-f0)+X(f+f0)]/2tfje02π一.傅氏变换的基本性质6.卷积与乘积信号x1(t)、x2(t)的卷积记作：x1(t)*x2(t)，定义：如果：x1(t)←→X1(f)、x2(t)←→X2(f)则：x1(t)*x2(t)←→X1(f)X2(f)即：卷积的傅氏变换为各自傅氏变换的乘积。反之：x1(t)x2(t)←→X1(f)*X2(f)乘积的傅氏变换为各自傅氏变换的卷积。()()()()τττdtxxtxtx−=∗∫∞∞−2121并有：19二.离散傅氏变换(DFT)1.离散傅立叶变换的过程a.对连续信号采样变成离散信号，为避免频率混淆，取b.对采样值加窗截断，得到有限个采样数据，为减少频率泄漏必须使采样长度足够长。c.离散信号N个近似值对应X(f)的N个近似值，构成N个傅氏变换对。max2ffs≥tNTΔ=0二.离散傅氏变换(DFT)2.离散傅氏变换的算法离散傅氏变换的表达式为12/0()()NjnkNknfxkteπ−−=ΧΔ=Δ∑1,1,0−=NnL)(fnΔΧ为复数)()()(22fnIfnRfnΔ+Δ=ΔΧ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΔΔ=Δ)