吉林大学 陈殿友,术洪亮--线性代数 习题课

线性代数习题课吉林大学术洪亮第一讲行列式前面我们已经学习了关于行列式的概念和一些基本理论，其主要内容可概括为：行列式概念性质展开定理计算应用概念排列，逆序数，奇排列与偶排列行列式的定义121211121212221212(1)nnnntppnppppnnnnaaaaaaaaaaaa性质1．行列式与它的转置行列式相等；2．互换行列式的两行（列），行列式变号；3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面；4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行列式可写成两个行列式的和；5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。展开定理计算就是运用行列式的定义、性质、定理求行列式的值，常用的方法有定义法、性质法、递推法、数学归纳法、加边法、公式法等。齐次线性方程组有非零解的充分必要条件应用克拉默法则10nikjkkDijaAij按行展开10nkikjkDijaAij按列展开下面我们通过例题演示来进一步巩固所学内容，并更好地掌握解题方法与技巧，本章常见题型有填空题、计算题、证明题。例1：问当i、j如何取值时，排列21i376j95为偶排列？解：令i=4，j=8，得排列为214376895214376895为奇排列与题矛盾。应取i=8，j=4此时排列218376495为偶排列。J（214376895）=1+0+1+0+2+1+1+1=7例2：求排列的逆序数。解：1.3.,(21)24(2)nnJ(1.3.,(21)24(2))nn=0+1+2+(1)n(1)=2nn解：行标按自然排列，列标排列的逆序数为的项前带正号。行列式的项由不同行不同列的元素乘积构成，112334ijaaaai、j为2、4的取值两项11233244aaaa11233442aaaa，J（1324）=1J（1342）=2的项带负号,11233244aaaa11233442aaaa含有因子的项为-1123aa11233244aaaa11233442aaaa1123aa例3：写出四阶行列式中含有因子的项。例4：在n阶行列式中，如果等于零的元素比n2-n还多,试证明此行列式的值为零。元素比n2-n还多，这说明非零元素的个数比n2-（n2-n）=n还少。由于行列式的每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积，因此，每一项中至少含有一个零元素，即所有项都为零，所以，行列式的值为零。证：n阶行列式中有n2个元素，等于零的例5：的充分必要条件？解：展开即有-10的充分必要条件是2a2a11010411aa0例6：已知四阶行列式D的第2行元素分别为：-1，0，2，4；第四行元素的余子式依次为：由行列式某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零，2,4,,4;?aa求而A41=-2A42=4A43=-A44=4a解：(-1)(-2)+0×4+2×(-)+4×4=0a=9a例7：计算行列式12413635104D解：483060304860012(6)43101(4)3(5)D1(6)(5)(4)34310220112110212102110D011211020112031442(2)rr32rr31rr413rr011211020024002212rr1102011200240022110201120024000243(1)rr4例8：nxaaaxaDaax解：第2列、第3列直到第n列，依次乘以1倍后加到第1列上去，得：[(1)]xna111aaxaax(1)(1)(1)nxnaaaxnaxaDxnaax[(1)]xna10aaxaxa1[(1)]()nxnaxa例9：312341123111221131211nnxnDxxnxxxxxx第n-1行（-1）倍加到第n行上，第（n-2）行（-1）倍加到第n-1行上，以此类推，直到第1行（-1）倍加到第2行上。312340111101111001110011nxDxx1111111111111xxx按第一列展开0000100010011xxxxxx有时直接采用性质和展开定理计算不方便可采用技巧便于计算。12(1)nnx例10：（加边法）12111111111nnaaDa121111011101110111naaa121111100100100naaa第一行（-1）倍加到各行上去后加到第1列上去。第2列、第3列---第n列，依次乘12111,naaa1212111111100000000nnaaaaaa1211(1)nniiaaaa例11：证明11001000100001nnnD证：当n=1时，221D结论成立.当n=2时，2222()1D33结论成立.假设当n≤k时结论成立，证n=k+1时亦成立。10100101kD010()010kD按第一列展开按第一行展开1()kkDD11()()()kkkk211211kkkkkk22kk所以当n=k+1时结论成立，由此证得：1100010001nnnD例12：求解方程组123123132314254226xxxxxxxx解：因为系数行列式2134258101286202D所以，由克拉默法则知，方程组有唯一解111342543036854602D321142424842436206D方程组的解为：11549,6DxD2261,6DxD33666x22134456262D证：当i=j时0iia则有，即反对称行列式D的对角线元素都为零。ijDa,、1、2、ijjiaaijn例13：若n阶行列式中元素满足则称D为n阶反对称行列式，试证奇数阶反对称行列式等于零。1213112232132331210000nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa,ijjiaa各行都提出一个（-1），则12131122321323312100(1)00nnnnnnnnaaaaaaDaaaaaa因为行列式与它的转置行列式相等(1)(1)1(1)0nTnnDDDD当n为奇数时，有，所以奇数阶反对称行列式的值为零。200DD例14：问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230020xxxxxxxxx有非零解。解：对于方程个数与变量个数相同的齐次线性方程组，有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零。1111111112100Dr3+（-1）r2111111010010000r2+（-1）r3c1+（-1）c3所以当λ、μ满足λ=1或μ=0时，11100(1)0001方程组有非零解。第二章矩阵及其运算习题课术洪亮矩阵是线性代数中非常重要理论之一，它贯穿线性代数内容的始终，在本章中首先介绍了矩阵的一些基础知识，其主要内容可概括为：矩阵概念：矩阵、转置矩阵、零矩阵、负矩阵、同型矩阵等；运算：线性运算，矩阵乘法；方阵对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵特殊矩阵三角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵对称矩阵、反对称矩阵矩阵的行列式，方阵乘积的行列式，奇异矩阵、非奇异矩阵、逆矩阵、伴随矩阵分块矩阵：分块对角矩阵，简单分块矩阵的求逆。关于矩阵的乘法AB，注意当A的列数与B的行数相同时才可以相乘，而且矩阵乘法不满足交换律，消去律，即AB=AC时，不一定有B=C，AB=0时，不一定有A=0，或B=0，但是当A为方阵且可逆时，若AB=AC，AB=0，则有B=C，B=0，,TTTTTTABBAABAB逆矩阵，注意111111,ABBAABAB例1：若n阶矩阵A的行列式为2A求：11*3,,,(4)3AAAAA解：因为数3乘以A相当于用3去乘A的所有元素，3A的行列式是每行含有公因子3，共提出n个3，所以：3A3332nnAA同理(1)2nA2，AA可逆，11**111112nnnAAAAAAAA1*1111143342312364424nnnAAAAAAA例2：设A为n阶可逆矩阵，求1*A解：1**111*11AAAAAAAAAAA例3：设100010,002解：4100010,0016A100010,002kkA11210001000A41,,.kAAA求例4：设A、B为n阶方阵，且2,3AB求,TAAB解:2,1112316TTnnnnAAAABABAB为的转置，求nA解：112311223332112121331TA1123(1,2,3),(1,,),,TA例5：设其中T111123232223333223292112121313131632393AA所以，322233333AAAAAAAA故13.nnAA例6：求矩阵121345201A的伴随矩阵和逆矩阵1A*A解：1112134535344,13,8012120AAA而112131*122232132333AAAAAAAAAA212223212,01113,01124,20AAA31216,45A32112,35A33122,34A*4261332842A12134514201A1*42611133214842AAA例7：设2000110000140012A求1A把A分块为1200AAA其中12011A21412A则1111200AAA1*1111011122AAA1*2222411116AAA12121123311660001000000A例8：已知010111,101A112053B且AX+B=X，求矩阵X解：由AX+B=X，得X-AX=B、（E-A）X=B110101102EA0EA且1()XEAB02111132120301153X10211()3213011EA93311602033311E-A可逆例9：设101020101A矩阵X满足2,AXEA