吉林大学 陈殿友--线性代数(1-2章)

线性代数（第三版）同济大学数学教研室编课程的性质线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。内容与任务线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。既有一定的理论推导、又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。用途与特点线性代数理论不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力。第一章行列式本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计算方法。此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默（Cramer）法则。§1阶行列式的定义1、二元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa一、n阶行列式的引出用消元法求解，得：211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa当时，求得方程组有唯一解：021122211aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx引入二阶行列式22111121121122221212122211babaabbaDababbaabD2221121121122211aaaaaaaaD方程组的解可以写成：DDxDDx2211二阶行列式的计算例如23)2(4353425例解二元线性方程组542132121xxxx求解方程104231D1945311D352112D101911DDx22310DxD2.三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法可求得，当0333231232221131211aaaaaaaaaD时，三元线性方程组有唯一解：DDxDDxDDx332211其中：3332323222131211aabaabaabD3333123221131112abaabaabaD1112132122231323aabDaabaab三阶行列式的定义322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD例如三阶行列式的计算7628439519876543210-3×5×7-2×4×9-1×6×8例解三元线性方程组021515321321321xxxxxxxxx6211151511D182101515111D62011115112D60111511113D311DDx122DDx133DDx3.n元线性方程组nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11112211211222221122构造：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnjabaabaabaD122211111nj,,2,1提出三个问题DDxjjnj,,2,1（1）D=？（怎么算）？（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式是否是二、全排列及其逆序数1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；在从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：(1)321!nPnnn2.逆序数对于n个不同的元素，可规定各元素之间有一个标准次序（例如，n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序）。于是，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的前后次序与标准次序不同时，就说产生了一个逆序，一个排列中所有逆序的和叫做这个排列的逆序数。逆序数是奇数的排列叫做奇排列，逆序数是偶数的排列叫做偶排列。3.逆序数的计算方法niinttttt121),2,1(niPi12nPPP不妨设元素为1至n个自然数，并规定有小到大为标准次序，设为这个自然数的一个n级排列，考虑元素，ipipitit如果比大的，且排在前面的元素有个，说这个元素的逆序是个，全体元素逆序之和即是的逆序数，12nPPP例如，设排列32514,其逆序数为：t=1+3+0+1+0=5当我们把上面排列改为31524，相当于把32514这个排列的第2、4两个数码对换（将一个排列中任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换）。通过计算可知31524的逆序数为t=1+2+0+1+0=4可见排列32514为奇排列，而31524为偶排列，可见一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。定义1设有n2个数，排成n行n列的数表三、n阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(-1)t，得到形如的项，其中为自然数1，2，…n，的一个排列，t为这个排列的逆序数。1212(1)ntPPnPaaa12nPPP这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和称为n阶行列式。记为:nnPPPtaaaD2121)1()det(ijaD也可记为:行列式的其他定义另一种定义形式为:nnpqpqpqaaaD2211)1(nqqqtnaaaD2121)1(同理，也可以定义为:四、几种特殊的行列式（1）对角行列式nn212100nnnn212)1(21)1(00（2）下（上）三角行列式nnnnnnaaaaaaaaa2211212221110nnnnnnaaaaaaaaa221122211211（3）21111111111111111111110DDbbbbaaaabbccbbccaaaaDnnnnkkkknnnnknnkkkkkkkkkaaaaD11111nnnnbbbbD11112其中，第二讲§2.行列式的性质有了n阶行列式的定义，我们就可以计算n阶行列式，在计算几种特殊行列式的过程中，发现直接用定义计算是非常麻烦。当行列式的阶数较高时，计算是十分困难的，为了简化n阶行列式的计算，我们这一节主要研究行列式的性质。一.转置行列式把行列式的行换成同序数的列而得到的行列式称为原行列式的转置行列式。即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111称DT为D的转置行列式．二．行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.证设nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211由此性质可知，行列式的行与列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然。jiijab显然按定义nji,,2,1,Dnppptnaaa21211nnppptTbbbD21211性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。kpkpabipjpjpipabab,,,时即当jik11121121212,niiinjjjnnnnnaaaaaaDaaaaaa证设行列式1112112T1212,niiinjjjnnnnnbbbbbbDbbbbbbTDD,是由行列式变换两行得到的,,kij当时于是njinpjpipptbbbbD1111njinpipjpptaaaa111nijnpjpipptaaaa111nijnpjpipptaaaa1111D推论如果行列式有两行（列）完全相同,则此行列式等于零.证把这两行互换，有D=－D，故D=0.证设D=nnnniniinaaaaaaaaa2121112111Dnnnniniinaaakakakaaaa212111211性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式。故ninpippptakaaaD212111kDninpippptaaaak2121)1(推论行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.例如53102251111256102451121性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.例如03219453212642945321nnnjnjnnjjnjjabaaabaaabaaD)()()(12222111111nnnjnnjnjabaabaaba122211111nnnjnnjnjaaaaaaaaa122211111性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和：即例如计算221111222112112222111211babaaaaabaabaa333231232221131211aaaaaaaaaD313332312123222111131211kaaaakaaaakaaaa例如性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.三、用行列式的性质计算行列式例1计算3351110243152113D3351110243152113D7216064801120213132rr1510001080011201131842423rrrr121312153402115133cc解：2141131208465021101627rrrr2500010800112021314534rr40例2.计算3111131111311113D3111131111311113D31111311113166664321rrrr解：311113111131111164862000020000201111141312rrrrrr例3计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232解：从倒数的二行开始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba363023200同理，可得：baabaacbabaadcba300200040002000aabaacbabaadcba例4计算321421431432432