吉林大学 陈殿友--线性代数(第3章)

第三章矩阵的初等变换与线性方程组§1矩阵的初等变换一.引例求解线性方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(1)①②③④(1)÷1239796323222424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2123423423423424222055363343xxxxxxxxxxxxx(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④123423444240263xxxxxxxxx12342344240300xxxxxxxx于是得其中x3可任意取值，或令x3=c这里c为任意常数.则方程组可记为：x=3344321cccxxxx30340111cx=即13234433xxxxx把上面方法加以数学抽象B=（Ab)=称为方程组（1）的增广矩阵.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换.21112112144622436979二.矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等变换:(1)对调矩阵的两行(列);(2)以数k≠0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;(3)把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）对应的元素上去;※矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:(1)对换变换的逆变换就是其本身;(2)倍乘变换的逆变换为;(3)倍加变换的逆变换为;※如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作A∽B.※矩阵之间的等价关系具有下列性质：（1）反身性A∽A（2）对称性若A∽B，则B∽A；（3）传递性若A∽B，B∽C，则A∽C.※两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价。jirrkrijikrr1irkijrkr三.矩阵初等变换的应用例1.解线性方程组979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解对方程组的增广矩阵B施以行初等变换97963422644121121112B97963211322111241211～34330635500222041211～310006200001110412110000031000011104121100000310003011040101～～～从而得等价的方程组33443231xxxxx取为自由未知量,并令,即得3xcx3x4331xxxx334ccc30340111c其中c为任意常数。1)行阶梯形矩阵：000003100001110412112)行最简形矩阵：00000310003011040101※一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.3)矩阵的标准形00000310003011040101～00000001000001000001对于任何m×n矩阵A,总可经过初等变换把它化为标准形.r000E此标准形由m、n、r三个数完全确定,其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵.例2设求A的标准形。000rmnEF3201022112320121A解:～～～3201022112320121A123202213201012112320221049501211000022104950121～59401220121000013500120012100001～3500120000100001～5300210000100001～～13000100001000011000010000100001～※任何的可逆矩阵都等价于同阶数的单位阵.练习3403130212011.124330232214533343112.把下列矩阵化为行最简形矩阵:§2矩阵的秩定义2在m×n矩阵A中,任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行和列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。m×n矩阵A的k行与k列子式共有个。kmCknC一、矩阵秩的定义例如1210020224200101A注意：在A中存在1阶和2阶的非零子式，但3阶和4阶子式全部为零。定义3设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵A的最高阶非零子式.数r称为矩阵A的秩，记作。0rDrDrAR)(注意显然有)()(ARART特别的规定0)0(R例1求下列矩阵的秩．解在A中，容易看出：一个2阶子式，A的3阶子式只有一个|A|，经计算可知｜Ａ｜＝０,因此Ｒ（Ａ）＝２.03221123235471A00000340005213023012B解Ｂ是一个阶梯形矩阵，其非零行有３行，故可知Ｂ的所有４阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的３阶行列式因此Ｒ（B）＝３2130320004二、矩阵秩的相关定理定理１若Ａ～Ｂ，则Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．证明先证明：若Ａ经过一次初等行变换变为Ｂ，则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ）．设Ｒ（Ａ）＝ｒ，且Ａ的某个ｒ阶子式Ｄｒ≠０,当或，在Ｂ中总能找到与Ｄｒ相BAjirr~BAkri~对应的rD由于rrkDDrrDDrrDD或或因此，0rD从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ当，分三种情况讨论：①Ｄｒ中不含有第i行;②Ｄｒ中同时含有第i行和第j行;③Ｄｒ中含有第i行，但不含有第j行.对①和②两种情况，显然Ｂ中与Ｄｒ对应的子式，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ；0rrDD~ijrkrAB对于③，由rrjijirDkDrkrkrrD若,0rD0rDrD则因中不含有第i行，可知Ａ中有不含第i行的ｒ阶非零子式，从而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若,则，0rrDD故也有Ｒ（B）≥ｒ.以上证明了若Ａ经过一次初等行变换为Ｂ，则Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可经过一次初等行变换变为Ａ．故也有Ｒ（Ｂ）≤Ｒ（Ａ）．因此Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）。经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。同理可证：Ａ经过有限次初等列变换，变成矩阵Ｂ，则有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．总之，若Ａ经过有限次初等变换变为矩阵Ｂ，则有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．如在例1中，我们已经计算的秩为2，将A施行初等变换得12301110111A1230111000B显然，R(B)=2,故R(A)=R(B)。通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。123235471A三、求秩．例２设41461351021632305023A求矩阵Ａ的秩．并求Ａ的一个最高阶的非零子式.解先求Ａ的秩。故对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：41461351021632305023A0502335102163234146141rr128121601179120113404146142141332rrrrrr128121601179120113404146142141332rrrrrr0000084000113404146134rr因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以R(B)=3。从而R(A)=3。32423416414043110004800048rrrrA的一个最高阶非零子式为：05211625021106523502623523设A为n阶可逆矩阵，则|A|≠0,从而R(A)=n，称A为满秩矩阵。若A为n阶不可逆矩阵，则|A|＝0,从而R(A)n，称A为降秩矩阵。例3设6063324208421221A4321b求矩阵A及矩阵B=（A|b）的秩。解46063332422084211221B100005000001200112212322423rrrrr000001000001200112215334rrr因此，R(A)=2,R(B)=3.21314122312211004200021500631rrrrrr例4设12122.123Ba若秩R(AB+B)=2，求a。解因为AB+B=(A+E)B11010012133001022220001123a13110,2A21012132022221123a04416273623aaa将所得的矩阵施以初等变换得044162716270443623041218aaaaaa1762044036824aaa1762044.0012aaa由于R(AB+B)=2，所以12－a＝0。故a=12。复习1、初等变换2、用初等变换求矩阵的秩设12212480,24233606A=12.34b求R(A)和R(A┆b)。§3线性方程组的解一、线性方程组解的存在性-定理2n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)＜n.证明：先证必要条件．设方程组Ａx＝０有非零解。（用反证法）假设Ｒ（Ａ）