吉林大学 陈殿友--线性代数(第5章)

第五章相似矩阵及二次型§1.向量的内积1.内积的概念定义1设有n维向量x,21nxxxynyyy21令[x,y]=,2211nnyxyxyx称[x,y]为向量x与y的内积。一、向量的内积1）内积是一个数（或是一个多项式）。2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。列向量：yxyxT,行向量：Txyyx,2.内积的性质：设x,y,z为n维向量，λ为实数。1)对称性：[x,y]=[y,x];2)齐次性：[λx,y]=λ[x,y];3)线性性：[x+y,z]=[x,z]+[y,z]。二.向量的范数与夹角1.向量的范数(长度)定义2令22221nxxxx,xx称‖x‖为n维向量x的范数。2.范数的性质：1）非负性当x≠0时,‖x‖0；当x=0时,‖x‖=0；2）齐次性‖λx‖=︱λ︱‖x‖；3）三角不等式‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。3.单位向量称‖x‖=1时的向量x为单位向量。任意α≠0,为单位向量。4.许瓦兹不等式5.向量的夹角当‖x‖≠0‖y‖≠0时1yxy,x即(当‖x‖‖y‖≠0时)，称θ为n维向量x与y的夹角。,arccosxyxy2,,,,xyxxyye三、向量组的正交性1.正交.设x、y为n维向量,当[x,y]=0时，称x与y是正交的。若x=0,则x与任何向量都正交。2.正交的向量组:指一组两两正交的非零向量。定理1若n维向量α1,α2,…,αr是一组两两正交的非零向量,则α1,α2,…,αr线性无关。证设有,使r,,,21λ1α1+λ2α2+…+λrαr=0,取αi(i=1,2,…,r)在上式的两端作内积。[λiαi,αi]=0亦即λi[αi,αi]=0因αi≠0,故[αi,αi]=||αi||2≠0,从而必有λi=0(i=1,2,…,r)于是向量组α1,α2,…,αr线性无关。[λ1α1+λ2α2+…+λrαr，αi]=[0,αi]3.正交基用正交向量组作向量空间的基,称为向量空间的正交基.例如n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间Rn的一个正交基。例1已知3维向量空间中的两个向量3R正交,试求一个非零向量α3,使α1，α2，α3两两正交。12111,211解设所求的向量α3＝（x1,x2,x3),依题意得:[α1,α3]=0,[α2,α3]=0，即020321321xxxxxx由于121111A～030111010101～得0231xxx从而有基础解系,101取,1013即为所求.四.规范正交基(标准正交基)1.规范正交基的概念定义3设n维向量是向量空间V的一个基,如果是两两正交的单位向量,则称是向量空间V的一个规范正交基.reee,,,21nRVreee,,,21reee,,,21是V的一个规范正交基。显然,若reee,,,21则jijieeji01,例如:0021211e,0021212e2121003e2121004e由于jijieeji01,(i,j=1,2,3,4)4321eeee,,,所以是的一个规范正交基。4R2.向量的坐标设是V的一个规范正交基,那么V中任何一向量应能由线性表示,表示法为neee,,,21nx,,x,x21neee,,,21为求表示法中的系数xi,可用与α作内积(i=1,2,…,n),称是ienx,,x,x21α在基neee,,,21下的坐标。,ie1122nneeexxx1122,nnieeeexxx=xi[ei,ei]=xi3.施密特标准正交化设是向量空间V的一个基，令111bbe222bbe333bbe,………………………………rrrbbe可以证明,reee,,,21是两两正交的单位向量。故reee,,,21是V的一个规范正交基。12,,,r1111,,,rrrrrrbeeee11,b22211,,bee33311322,,,beeee例2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解取12161111bbe112,1213,1341,011;b121641311113511131222bbe22211,bee112211,bbbb211221,bbb1113512131014101210121333bbe故321eee,,即合所求。313233122212,,bbbbbbb例3已知,求非零向量α1，α2，使α3与α1，α2正交,并把它们化成R3的规范正交基。解:α1，α2应满足α3Tx=0的非零解,即0321xxx它的基础解系为11010121,T31,1,1令因此可用施密特标准正交化.,10121111bbe则1122,,则α3与α1,α2正交,显然α1与α2线性无关,取b1=α1,2112112121222bbe则.,,一个规范正交基即为故3321Reee再把α3单位化，得22211,bee取333111,31e五、正交矩阵与正交变换1.正交矩阵定义4如果n阶矩阵A满足T1TAAEAA即那么称A为正交矩阵.将矩阵A按列分块,即则12,,,,nA1212,,,.nnETTT亦即这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量。例4验证2121000021212121212121212121P是正交矩阵。1()0ijijijijT,1,2,,.ijn解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以P为正交矩阵。例5.,,,.的一个规范正交基也是试证nnRAeAeAe21证由于jijiAeAeAeAeT,jiAeAeTTjijieeji01T故.,,,的一个规范正交基也是nnRAeAeAe2112,,,nneeeR设是的一个.A规范正交基为正交矩阵.(,1,2,,),ijn2.正交变换定义5设P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。设y=Px为正交变换，则有yyyTPxPxTTxxxT按‖x‖表示向量长度,‖x‖=‖y‖说明经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。§2方阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的概念定义6设A为n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。（1）也可以写成(A－λE)x=0（2）(1)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式︱A－λE︱=0(3)由此,我们可由(3)求A的特征值,由(2)求A的特征向量.1、特征多项式f(λ)=︱λE－A︱nnnnnnaaaaaaaaa212222111211111221nAnnnna+a++a2.特征方程︱A－λE︱=00112211Aaaannnnn即3.A的迹nnaaa2211nnaaa2211二、特征值与特征向量的性质个特征值的是设nA,,,n21，由高次方程的韦达定理不难证明:性质1.nnnaaa221121性质2.An21例1证明方阵A可逆的充分必要条件是零不是A的特征值。证个特征值的是设nA,,,,n21必要性:因为A可逆,所以︱A︱≠0,由性质2021n从而零不是A的特征值.充分性:均不为零由于n,,,21,从而021n由性质2021nA故A可逆.同理可证:A不可逆的充要条件是A有零特征值。12,,,,n故不为零三、特征值与特征向量的求法1、由︱A－λE︱=0,求A的n个特征值.2、由Ax=λx,求抽象矩阵的特征值.3、由(A－λE)x=0,求A的特征向量.例2求矩阵201034011A的特征值和特征向量。解:①由︱A－λE︱=0，求A的全部特征值，201034011EA0122得A特征值为12321,②由(A－λE)x=0,求A的特征向量,时当21解方程（A－2E）x=0由0010140132EA～000010001得基础解系1001p.kkp的全部特征向量是对应于所以2011时当132，解方程（A－E）x=0由101024012EA～000210101得基础解系1212p例3求矩阵314020112A的特征值和特征向量的全部特征向量是对应于所以10322kkp时当132，解方程（A－E）x=0由101024012EA～000210101得基础解系1212p例3求矩阵314020112A的特征值和特征向量的全部特征向量是对应于所以10322kkp解(1)由︱A－λE︱=0,求A的全部特征值。314020112EA341222220212得A的特征值为11232(2)由(A－λE)x=0,求A的特征向量。当11时,解方程（A+E）x=0由111030414AE～000010101得基础解系1011p所以对应于11的全部特征向量为，01kkp时当232解方程（A－2E）x=0,由1140001142EA～000000114得基础解系40111032p,p的全部特征向量所以对应于2323322pkpk不同时为零32k,k例4设λ是方阵A的特征值,证因为λ是方阵A的特征值,设为P≠0,使AP=λP,于是APAPA2APPAPP2的特征值是所以22A例5设3阶方阵A满足求A的特征值解设λ是A的特征值,x是A的关于λ所对应的特征向量则Ax=λx，从而02323AxxAxA,02323