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结构力学(王焕定第三版)教材习题答案全解第三章习题答案3-1(a)答：由图（a）、（b）可知结构对称（水平反力为零）荷载对称，因此内力对称。所以可只对一半进行积分然后乘以2来得到位移。如图示FPR(1−cosθ)MP=θ∈[0,π/2]；M=Rsinθθ∈[0,π/2]2代入位移计算公式可得MPM1π2MPM2π2FPR(1−cosθ)∆Bx=∑∫EIds=2⋅EI∫0EIRdθ=EI∫02RsinθRdθ=FPR3=(→)2EI3-1(b)答：如图（a）、（b）可建立如下荷载及单位弯矩方程EIBARRFP(a)1(b)pR∆Bx=∑∫MEIMds=∫0π2MEIPMRdθ=qEI4∫0π2(1−2cosθ+cos2θ)RdθqR4⎡θ1⎤3π⎞qR4=EI×⎢θ−2sinθ+2+4sin2θ⎥⎦0=⎝⎜4−2⎠⎟2EI(→)2⎣3-2答：作MP图和单位力弯矩图如下图：由此可得内力方程根据题意EI(x)=EI(l+x)代入位移公式积分可得22P0sin()d(1cos)(1cos)qMRqRMRθθααθθ−==−=−∫AqRBαθ1(a)θ(b)ABlq030p6xqMMxl==xPM图206ql1lM图x58382l代入位移公式并积分（查积分表）可得MPMl2q0x4∆Bx=∑∫EIdx=∫06EI(l+x)dx7q0l40.07ql4=(ln2−)×=(→)123EIEI3-3答：分别作出荷载引起的轴力和单位力引起的轴力如下图所示：由此可得C点的竖向为移为：FNPFN1FNPFN1∆Cy=∑∫EAds=∑EAl=65112.5kN××6m+2×(62.5kN××5m+125kN××5m+75kN××6m)=88EA=8.485×10−4m当求CD和CE杆之间的夹角改变使：施加如图所示单位广义力并求作出FN2图，则F∆=∑∫FNPEAFN2ds=∑NPEAFN2l2×62.5kN×(−0.15)×5m+(−112.5kN)×0.25×6m=EA=−1.4×10−4rad(夹角减小）3-4（a）答：先作出Mp和M如右图所示。利用图乘法计算。按常规单位弯矩图M的AK段为直线，KB段为零，KB段不用作图乘。但MP图AK段形心不易求得，为了图乘简单，可将单位弯矩图AK段直线延长到KB段（如图虚线所示），这样可以用MP图的AB段直接与M图进行图乘（面积和形心对应的弯矩分别为A1、y1，如图中所示）。但是，按照如此计算出的位移多计算了KB部分的“贡献”（其面积和形心对应的弯矩分别为A2、y2，如图中所示）。为此，根据叠加原理，必须再减去多计算的KB部分（也就是KB段作图乘）。按上述分析思路进行图乘计算如下：MpM∆Ky=∑∫EIdsA1y1A2y2=+EIEI17ql4=(↓)384EI3-4(b)答：先作出Mp图和M图如下所示。q0.5l0.5lABK2l82ly=KAB2/2ql8/2ql621qlA141=lyKABM2l图=2248qlA=AKBPM图则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得MpMA1y1+A2y2+A3y3+A4y4+A5y523Fpl3∆Ky=∑∫EIds=EI=3EI(↓)3-4(c)答：作出Mp图和M图如下图所示。则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得MpM2A1y1+2A2y2−A3y3+A4y45ql3ϕAB=∑∫EIds=EI=3EI2)相对水平位移：则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得∆AB=∑∫MEIPMds=2A1y1+2A2yEI2−A3y3+A4y4=56qlEI4(相互靠近）相对竖向位移为零：对称结构在对称荷载作用下的反对称位移等于零。则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得MpM∆Ky=∑∫EIds=1=1443-4（f）答：画出Mp图和M图如右所示。AA2=321272162A3=225PM⋅图kN(m)714y2=2y4=5.5y3=6M图1y8=3A4=360则根据图示的面积和对应的形心坐标，按位移计算公式计算可得MpMA1y1−A2y2+A3y3+A4y41985∆Cy=∑∫EIds=EI=EI(↓)3-5答：在计算温度改变引起的位移时，注意要考虑轴向变形的影响。m4m3kN6/m2EIkN6EIBACt根据题意，轴线温度和温差分别为t0=∆t=t1C0.25l0.25l0.25lM图2按温度改变位移计算公式可得∆Cy=∑∫αt0FNds+∑∫α∆htMds=∑(±)αt0AFN+∑(±)AMα∆ht3-6答：与3-5一样要考虑轴向变形的影响。按题意可求得BC杆：t0=t2+t1=10°C∆t=t2−t1=40°C2AB、CD杆：t0=t2+t1=−10°C∆t=t2−t1=0°C2代入位移计算公式M图6mD6m1ADCBEI2=2EI1EI1EI1-10oC30oC-10oC10m-10oC内部NF图111D∆Dy=∑∫αt0FNds+∑∫α∆tMds=h=∑(±)αt0AFN+∑(±)AMα∆ht=2400α=−100α+=2900α=0.029m(←)h3-7答：作出FN图，本题t0=t，利用温度改变情况下的位移计算公式可得3-8答：虚拟单位力状态与3-7题相同，单位力引起的轴力也相同（此处略，见上题）。AK杆的内力在其制造误差（变形虚位移——伸长位移）上所做的总虚变形功。则根据虚功原理有：We=∆KyWi=−×5mm=−52mm2()NN002d(220.52)2KyFtstFltddtd∆αααα===−××+××−=↑∑∑∫KddABNF图10000022−22−0.50.522522We=Wi∆Ky=−mm=−3.54mm(↑)3-9答：求出单位水平力作用在K点时的支座反力，利用支座移动引起的位移计算公式有：3-10答：本题是荷载、温度、支座移动和弹性支座多因素位移计算，可分别计算各单独因素的位移，然后叠加得到多因素结果，由此下面分别计算。1）由于温度变化引起的C点竖向位移：0.2m()()01RiKxiFcablalϕ∆ϕ=−=−×+×+×=−−∑→KaKbϕ单位力状态11l0l∆t=t2−t1=30°C−10°C=20°C∆∆Mds=−120α=−200αhh2）由于荷载引起的C点竖向位移（将荷载下弹簧的变形作为虚变形，计算虚变形功）：2MpMFRPA1y1+A2y2−A3y3−A4y4FRP60105585∆Cy=∑∫EIds+FRk=EI+FRk=EI+8EI=8EI3）由于支座移动引起的C点竖向位移：FRi×ci=−0.01m将所有因素在C点产生的位移叠加：123585∆Cy=∆Cy+∆Cy+∆Cy=−200α+−0.01m8EI3-11答：因为要求考虑剪切变形的挠曲线，因此需分别作出荷载、单位力产生的弯矩图和剪力图。又因是挠曲线计算，因此单位力状态作为在任意x截面位置。根据所做的图形将内力代入位移计算公式积分即可得任意x截的位移——挠曲线。qlqlFQP图QMEIPMx+∑∫kFGAQPFQdx∆y(x)=∑∫d1⎛x2ql2x2x⎞kql×1×x=E⎜×(−)+×ql(l−)⎟+GAI⎝2223⎠=qxEI2l⎛⎜l−x⎞⎟+1.2GAqlx(↓)x∈[0,l]⎝46⎠3-12答：因为AB杆应力-应变关系非线性，因此非线性杆需要根据式（3－4）计算BAqql22ql1111xM图F图PM图22ql22qlxxFPlABFP0+FP0P2F-FPNPF图AB10021NF图022δε=⎛⎜⎝σE⎞⎟⎛⎝FNP⎞σFNP=⎜对于AB杆件：⎠EA⎟⎠；其他杆件：δε=E=EA∆Bx=∑∫FNδεdx∑FNPFNl+⎛⎜∫(FNP)2F2Ndx⎞⎟⎟=EA⎜⎝(EA)⎠AB杆件FPl⎛(FNP)2FNl⎞⎟=2EA=+⎜⎜⎝(EA)2⎟⎠AB杆件EA(EA)FPl4(FP)2l=+2(→)EA(EA)3-13答：先求只有温度作用时的梁中点的挠度。单位弯矩图如右下图所示按公式可得α∆tαtl2∆t=t2−t1=t−(−t)=2t∆t=∑∫hMds=−1h1EI()2PP222FFll+×1M0+t-tEIM0ABAB0.25lM0M0PM图M图再计算只有外力偶作用时的梁中点挠度，荷载与单位弯矩图如上图，可得MpM(±)A×yM0l2∆p=∑∫EIds=∑EI=8EI根据题目要求：∆t+∆P=0，由此可解得M0=2αtEI。h3-14答：M1M2MAB(a)(b)1M1根据已知条件可以得到：θB=(M2−)3EI2M1因为图（b）情况θB=0，由此解得：M2=，代入θA计算公式中，可得：2M1ϕA=3-15答：由单位力状态求出支座反力、AC杆件轴力和BCD杆的弯矩图如图示，与3－10题一样先计算各单一因素的位移。1）由BCD杆作成圆弧（假定向上凸）所引起的D点EIAAθlEIB1Aϕϕ=FN×∆=−0.417×0.001m=−0.0004173）由于支座移动产生的D点转角为：ϕD3=−∑FRi×ci=−(−0.25×0.002m+0.333×0.003m)=−0.0005则向上凸时D点转角为：ϕD=ϕD1+ϕD2+ϕD3=0.0166(顺时针）同理向上凹时D点转角为ϕD=−ϕ1D+ϕD2+ϕD3=−0.018417(逆时针）3-16答：本题已知A截面转角，但FP多大未知。因此，应该首先由A截面转角确定出FP，然后在已知FP的情况下求C铰两侧截面的相对转角。转角为：1()(0.513m+12m)dd0.0175()200mMDAMxMRRθϕ±×××=====∑∑∑∫∫顺时针2）由于AC杆件制造误差产生的D点转角为：DABC单位力状态1110.250.333-0.4170.250.333为此首先分别作出荷载与单位弯矩图如图(a)、(b)。在FP作用下A点的转角为MpM1⎛1ϕA=∑∫ds=⎜×3FP×6m×1×1⎞⎟=3EIFPEIEI⎝23⎠EI由此解得FP=ϕA3按上述思路，再求C截面两侧的转角，为此作出单位弯矩图如图(c)所示，则MpM1⎛12125⎞ϕC=∑∫EIds=EI⎜⎝2×3FP×6m×3×2+2×3FP×3m×3×3⎟⎠17FP17==ϕA=0.005667rad(如图示)EI33-17答：利用虚功互等定理。H点竖向位移计算如下：221kN×∆Hy=kN×1.2cm+kN×0.1cm×3+kN×0.06cm×3+kN×0.05cm×333整理得：∆Hy=1.12cm(↓)*3-18答：因为是空间简单刚架，因此需分别作出在荷载、单位力作用下的弯矩图和扭矩图，得用带扭转项的式（3-5）计算。MMM∆Cy=∑∫EIPds+∑∫PGxIMpxds=EI1⎛⎝⎜12×200kN⋅m×4m×32×4+12⎞60kN×4m×23440480+×60kN⋅m×2m××2⎟+GI=EI+GIp23⎠p代入已知抗弯、抗扭刚度，整理得：∆Cy=0.09067m(↓)*3-19答：同3-18一样。分别作出在荷载、单位力作用下的弯矩图和扭矩图如下：∆ABy=∑∫MPMds+∑∫MPGxIMpxdsEI=EI2⎜⎛1×FPa×a×2×a×2+1×FPb×b×2×b⎞⎟+GI2p(FPa×b×a+FPb×a×b)⎝2323⎠=2FP(2a3+b3)+2FPab(a+b)(↓↑)3EIGIp*3-20答：设超静定结构i、j支座发生广义位移∆i、∆j，则由功的互等定理可知FRij∆i=FRji∆j；其单位是kN⋅m式中FRij、FRji分别为∆j、∆i引起的i、j支座的广义反力。由此FRijFRjikij=≡=kji（A）∆j∆i如果广义位移∆i、∆j属同性质量，则广义反力也属同性质量，反力系数kij、kji自然量纲、单位相同。如果广义位移∆i、∆j一个是线位移，另一个是角位移（包括相对线位移、相对角位移），则由功可知广义反力与线位移相乘的项是力、与角位移相乘的项是力偶（一组力或一组力偶），反力系数是广义反力与广义位移式（A）所示的比值，力偶项所除的是线位移，力项所除的是角度（弧度是量纲一的