结构力学_力法(二)对称性的利用

§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称性的概念对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。几何对称支承对称刚度对称对称结构支承不对称刚度不对称非对称结构对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称性的概念对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。PP对称荷载PP反对称荷载PllllMPllEI=CllEI=CM下面这些荷载是对称？反对称荷载？还是一般性荷载?§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称性的概念对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对称荷载均为原荷载值的一半。02121XXPXX叠加原理：2221PXPXP原结构AX1对称荷载AA’X1X2反对称荷载AA’X2EI=C§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征以图示结构为例推导说明。选取对称基本结构、对称和反对称基本未知量。P原结构EI=CX3X1X2P基本结构000333323213123232221211313212111pppXXXXXXXXX基本未知量321XXX对称反对称11X图1M12X图2M13X图3M0032233113000333322221211212111pppXXXXX力法方程简化为只包含两个对称基本未知量只包含一个反对称基本未知量利用对称性，可将原高阶方程组解耦降阶，化为两个低阶方程(组)§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征进一步考虑荷载的对称、反对称性11X图1M12X图2M13X图3M0,033Xp000333322221211212111pppXXXXX⑴对称荷载作用下P/2P/200002121XXpp⑵反对称荷载作用下P/2P/2Mp对称Mp反对称对称结构在对称荷载作用下，只产生对称的内力、变形和位移，反对称的内力、变形和位移为零。对称结构在反对称荷载作用下，只产生反称的内力、变形和位移，对称的内力、变形和位移为零。§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis对称结构在对称和反对称荷载作用下的特征综上所述，将利用对称性简化力法计算的要点归纳如下：⑴选择对称的基本结构，取对称约束力或反对称约束力作为基本未知量。⑵对称荷载作用下，只考虑对称未知力。（反对称未知力为零）⑶反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。（对称未知力为零）⑷一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载。【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。CEI§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆。CEI【解】利用对称性简化为一次超静定。01111pXEIEIp1800,144111kNX5.121pMXMM11§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算根据对称结构的受力特征，在对称或反对称荷载作用下，可以取半结构计算，另外半结构的内力可通过对称或反对称镜像得到。半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。判别方法有两种：根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。对称轴上的杆件对称轴上的截面弯曲变形轴线变形剪切变形弯矩轴力剪力角位移沿对称轴线位移垂直对称轴线位移约束力矩沿对称轴约束力垂直对称轴约束力对称荷载×√××√××√×√×√反对称荷载√×√√×√√×√×√×变形(位移)与约束力是一一对应的；有变形(或位移)，则无约束力，也就没有约束；反之，无变形(或位移)，则有约束力，也就存在约束。(适用于所有结构)(一般只适用于奇数跨结构)§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算奇数跨对称结构：对称轴上截面的约束既可根据变形特征判别，也可根据内力特征判别。对称荷载原结构EIEIEIPP半结构EIEIP梁跨中截面内力轴力弯矩剪力对称反对称(×)梁跨中截面位移水平线位移角位移竖向线位移反对称(×)对称反对称荷载原结构EIEIEIPPEIEIP梁跨中截面内力轴力弯矩剪力对称(×)反对称梁跨中截面位移水平线位移角位移竖向线位移反对称对称(×)半结构§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算偶数跨对称结构：对称轴上有杆件或支座，一般先判别对称轴上杆件的变形特征，再判别对称轴上截面的位移特征。对称荷载半结构EIEIP原结构EIEIEIPPEIEI①中柱无弯矩和弯曲变形；②结点A无转角和水平线位移（反对称位移），无竖向线位移（不计中柱伸缩变形）。A反对称荷载原结构EIEIEIPPEIEI①中柱有弯矩和弯曲变形—必须保留；②结点A有转角和水平线位移（反对称位移），无竖向线位移（对称位移且不计中柱伸缩变形）。PEIEI2EI不计中柱伸缩变形，可取消半结构§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算【练习】利用对称性选择半结构。EIEIEIPEIEI2PEIEIEIPPEIEIEIEIPEIEIEIPEIEIEIEI2P2EIEI=cPEI=c2P§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算【练习】利用对称性选择半结构。PEI=cEI=c2PPEI=cAB00,00,0BABBAAvvuuEI=c2PEA=∞EI=c2PEI1=∞PEI=cABP00,00,0BABBAAvvuuPAB杆EIAB=EI/2其它杆EI=cAB§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算【练习】利用对称性选择半结构。EI=cqqEI=cP4P2P2EI=cq上下对称EI=cq左右对称EI=cP2P2PPPPEI=cP2P2PPPP对称无弯矩反对称P2PP上下反对称P左右对称§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。EIEIEI2EIEIPllEIEIEI2EIEI2P2PEIEIEI2EIEI2P2P对称无弯矩反对称EIEIEI2PEIEIEI4P4PEIEIEI4P4P对称无弯矩反对称EIEI4PEIEI4P1X基本结构11X2l1M4PpM4Pl01111pXEIPlEIlp16,247313111431PXpMXMM114PM283Pl7Pll283Pl7Pl72Pl143Pl283Pl又看到您了！§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis取半结构计算【例2】试用力法求作图示对称结构的弯矩图。831PlXpMXMM11EI=cPl2llP2PX1P左右对称2P上下对称01111pXEIPlEIlp43,2211111X11MpM2PPl/2M2P3Pl/8Pl/8PP3Pl/8Pl/8Pl/8Pl/8Pl/83Pl/8§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis选用成对的广义未知力简化计算【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。aa2a2EI=cABCDq求解思路：本结构对称，为了利用对称性简化计算，应尽量选择对称位置上的多余力作为基本未知量，从而使基本结构也对称。2次超静定，可以选择A、C支座约束作为多余约束，对应基本结构如图所示。EI=cABCDqY1Y2为了进一步简化计算，使方程的副系数尽可能为零，将一般多余约束力Y1、Y2重新分解与组合，即这就形成了两个(两组)新的广义未知力。从数学上看，是Y1、Y2的线性组合，反映出来的物理含义是：将一般多余约束力分解成了一对对称的未知力和一对反对称的未知力。见上图。212211Y,YXXXX21XX、1X2XABCD2qX1X1ABCD2qX2X22q§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis选用成对的广义未知力简化计算【例1】试用力法求作图示结构的弯矩图。aa2a2EI=cABCDq11X11Xa21MABCDqX1X1X2X2基本结构12X12Xa22Ma2a4pMq22qa0022221211212111ppXXXX（物理含义？）第一个方程：A、C两点竖向位移和等于零。第二个方程：A、C两点竖向位移差等于零。EIa316311EIa36432202112EIqap412EIqap421032158321qaXqaX解得pMXMXMM221182qa1632qa1652qaM力法方程的物理含义：左右两个截面剪切变形的和等于零。由于两个截面的剪切变形大小相等，故，等效于两个截面的剪切均等于零。01111pX§6-5对称性的利用—力法简化计算SchoolofCivilEngineering,TongjiUniv.StrucuralAnalysis选用成对的广义未知力简化计算【例2】作图示结构的弯矩图。（本例前面已讲过选择半结构的求解方法）EI=cP4P2P2EI=cP2P2PPPP对称无弯矩EI=cP2P2PPPP反对称EI=cP2P2PPPP反对称受力状态的基本结构X1X1Why?上下反对称，故，截面弯矩、轴力为零。左右对称，故，两截面剪力大小相等，性