房价问题的数学分析及预测

房价问题的数学分析及预测摘要：本文主要使用灰色系统模型通过计算影响房价的各个因素与房价之间的关联度对房价的形成进行了细致的分析。首先，大致分析出影响房价的因素，利用《统计年鉴》等统计数据，分别得到了上海市近十年的房产均价、投资额，施工面积、贷款利率、价格指数、房屋出租量等数据；其次，利用模型求解出各因素对房价形成的影响程度，深入了解影响房价的关键因素。建立房价与时间的函数关系式预测房价走势。针对投机性这一特殊因素，我们利用多元回归模型建立投机度与房价、人均可支配收入、贷款利率、过去房价实际增长率之间的近似线性关系，求出投机度。最后，通过预测未来十年的房价走势和分析房价与“二手房”房价、租金之间的关系，给出了对多数人而言买房不如租房的建议。关键词：房价形成市场供求灰色系统投机度问题的重述与分析1.问题重述调查住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。2000年以来我国经济发展形势一片大好，房地产开发投资规模持续增长，一级市场的土地需求量显著上升；二级市场供求形势出现逆转，商品房市场产销两旺，供需总量同步攀升。与此同时房价增长有些过快，2005年，中央出台了一系列房地产的调控政策，对促进房地产市场的稳定发展起到了积极作用，房价过快的势头得到了抑制，房地产开发投资增幅稳定回落。2008年受国际金融危机的影响，部分购房需求受到抑制，2009年在国家税收、土地控政策的作用下，一度受到抑制的需求得到释放，适度宽松的货币政策使信贷规模加大，为房地产开发和商品房购买提供了比较充裕的资金，房地产市场供求大增，带动了整体回升。但有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，另一方面，部分投机者也通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，也是导致房价居高不下的原因之一。因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。为此，国家在今年4月17日出台了《关于坚决遏制部分城市房价过快上涨的通知》（俗称“新国十条”）的调控政策。分析找出形成房价的主要原因，建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产的投机进行深入细致的分析。然后根据所建模型调查某一地区今年房价变化并预测该地区下一阶段房价走势。同时调查该地区“二手房”房价、租金，研究它们与房价变化之间的关系。结合相关政策出台时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。最后，根据结果给出购房（新房或二手房）或租房的建议。2．问题分析问题一的核心是建立合理的数学模型。由于改革开放之后我国经济发展迅猛，房价的变化更是日新月异，我们认为只需研究近十年的房价便可说明问题，但是这样我们的数据便会非常有限。又因为影响房价的因素较多。于是我们选择建立灰色系统模型。通过分析我们所考虑到的因素（投资，单位成本，居民支付能力，居民消费价格指数，人口密度等）与房价之间的关联程度得出影响房价的主要因素，求出灰导数。再通过回归分析，残差分析比较通过灰导数求出的预测值与真实值的差距用以检验我们模型的合理性。最后结合模型对房价的形成、演化机理作一详细的阐述。关于投机，找出影响投机的因素：房价、可支配收入、贷款利率和投机度（过去房地产价格实际增长率），然后建立投机度检验模型得出线性方程，经过回归分析最后求出投机度。根据所求结果与警戒线0.4相比较，深入细致分析房地产的投机。问题二中我们选择调查上海2000~2009年的房价变化情况，根据调查所得数据结合我们所建立的灰色系统模型对上海市2010、2011年房价走势作出预测。问题三采用微观经济学的基本观点，以理性人为假设，定性的分析了租金与房价，房价与二手房价格的关系，并根据所收集到的数据，给出了第五问，关于租房还是买房的定量分析。问题四则是通过模型的预测，来检验国家宏观调控的现实效果。模型假设1）税收具有长时期的稳定性，不会随意改变。2）统计年鉴中的数据真实可靠。3）没有重大经济危机以及战争、重大自然灾害。4）商品价格及房屋面积由于数量巨大，可以视为连续变量。模型的建立记0x（t）（t=1,2…n）为k时刻某一因素的取值，则根据灰色系统理论，可以使用GM（1,1）来建立x与t之间的函数关系，首先，求出该数列的一次累加数列1()tx，使得101()()titixx再根据1()tx求出其紧邻均值数列1()tz111()0.5*()(1)2,3ttttnxxz构造函数矩阵Y，B,使得000(2)(3)Y()nxxx111(1)1(2)1(1)1Bnzzz则GM(1,1)灰微分方程为11(1)udtdxax使用最小二乘法，可以得到参数aU=u求解微分方程（1）的通解为：1*()(2)*atutaxce对于一个离散模型，方程（2）求出的是因变量的一次累计数列关于时间的函数，可以再求的一次累减数列，从而将数据还原，既有01101()()(1)2,3;(3)(1)(1);(3)kkkknxxxxx若时间变量视为连续的，则方程（2）可以作为的关于时间的连续函数，此时有：101*()()*attdtutadxxxce对上述方程组求解，可得：0()(4)attcaex则对于多个相互有影响的变量0,1,2nx可以分别求出他们关于时间的函数关系：0(5)iatiiicaex其中,iica由特定数据组决定。方程组（5）中的所有方程，都是关于时间（t）的函数，故对于特定的两个变量,ijx，可以将方程组中第i,j个方程提取出来，组成关于t的参数方程组，进而可以求得这两个变量间的函数关系。模型的求解一关联度分析：收集到如下数据：表一年份20002001200220032004均价（元）3326.513658.504007.254989.326384.99贷款利率0.05850.05850.05390.05310.0533涨幅0.0720.1000.0950.2450.280存款利率0.0230.0230.0210.0200.020施工面积（万平米）4263.504842.315727.246782.097631.31总投资（亿元）408.82535.25567.76676.28900.67销售面积（万平米）480.97615.17739.891109.862064.74人均可支配收入（元）11568.1012383.5413610.8814928.3617299.35价格指数557.70604.50673.40721.90815.00购买力（平米/年）3.483.383.402.992.71可建筑面积（万平米）1912.313728.893393.053149.212888.28二手房成交量（万平米）648.231031.481341.601807.572222.24出租量（万平米）59.2965.9976.8576.8477.42年份20052006200720082009均价（元）6698.007038.998253.008182.0212364.00贷款利率0.05580.06320.07110.07000.0531均价涨幅0.0490.0510.17-0.010.51存款利率0.0230.0230.03180.0410.0225施工面积（万平米）8091.857988.737642.796872.106550.73总投资（亿元）920.84835.63837.53843.63918.68销售面积（万平米）1906.051841.042706.301608.473620.23人均可支配收入（元）19910.7722240.3925168.8829067.1831121.67价格指数906.001019.201148.501245.901345.30购买力（平米/年）2.973.163.053.552.52可建筑面积（万平米）3299.541987.06915.42952.661318.41二手房成交量（万平米）1608.201375.221715.051107.172490.58出租量（万平米）94.4478.63110.3892.74102.63说明：1.以上统计数据中的均价、施工面积、总投资、销售面积、人均收入、价格指数、可建筑面积、二手房成交量、出租量，直接从上海市2000—2010年统计年鉴中得到。2.人民币存贷款基准利率由中国人民银行1999—2009年年报中得到，使用一次移动加权平均法计算出当年度利率水平。3.涨幅以商品房历年均价为基础，采用环比计算法得出。4.购买力=人均可支配收入/商品房均价。将上述数据录入MATLAB中，按如下步骤计算各个因素对均价的关联度。第1步：进行归一化处理，以消除量纲。提取数据第i行为(1,213)iix，令(),1,2,310(1)iittxx。用得到归一化数列替换原数据，并将该数据记为矩阵A。第2步：计算第2到第13行的数据与第一行数据的极差。并取绝对值，构成极差矩阵J.使得(,)(,)(1,)JitAitAt第3步：计算关联度。第i行数据代表的因素，在t时刻与t时刻房屋均价的关联度为,min()maxitJρ*(J)J(i,t)+ρ*max(J)ζ取,1()nittiEnζζ为该元素对均价的关联度。计算结果如下：表二贷款利率0.7134涨幅0.6692存款利率0.72792施工面积0.85273总投资0.86678销售面积0.63269人均收入0.89价格指数0.87044购买力（平米/年）0.69387可建筑面积0.70869二手房成交量0.80131出租量0.80576可以看到，按关联度从高到底排列，对房价的影响因素依次为：人均收入价格指数总投资施工面积出租量二手房成交量存款利率贷款利率可建筑面积购买力涨幅销售面积。从整体看，与房价的关联度都比较高。二投机分析房地产投机的影响变量分别为房地产价格、可支配收入、贷款利率和过去房地产价格实际增长率（投机度）。结合以上因素建立房地产投机价格模型如下：Pt=f1(yt,it)+f2(gt)/(1+it)（1）在此模型中假设δp/δy0,δp/δi0,δp/δg0Pt是t时期的房地产价格，it代表t期的贷款利率，gt表示过去价格的增长率，yt表示人均可支配收入。根据方程（1）建立近似线性方程如下：Pt=a0+a1*yt+a2*it+a3*[gt/(1+it)]+ut(2)其中gt/(1+it)代表过去房地产价格实际增长率，ut代表随机误差项。投机度的确定：设置业投资者预期将来房地产价格的增长率为g’(t+1),也可表示为g’(t+1)=θ*gt(3)方程（3）两边求导得δg’(t+1)/δgt=θ(4)由于房地产价格和利率有密切的关系，即利率上升导致房地产开发成本上升，使得房地产价格上升，因此，可得到如下公式：δPt/δit=δpt/δg’(t+1)=-(δpt/δgt)/θ(5)对方程（2）求i和g的偏导，可得到如下关系式：δPt/δit=a2-a3gt/(1+it)^2(6)δPt/δgt=a3/(1+it)(7)将方程（6）和（7）分别代入方程（5）中，可得到如下关系式：θ=-[a3/(1+i)]/[a2-a3*gt/(1+it)^2](8)上式中i，g的值通常较小，θ可表示为：θ=-a3/a2(9)因此，θ可以用来表示房地产业投机度，即房地产过去价格对将来价格的影响程度。如果θ值过高，说明房地产市场上存在着巨大的投机行为，房地产泡沫存在的可能性就较大；反之，房地产泡沫存在的可能性就较小。因此，制定一个科学的警戒线是做慈祥分析的关键，该指标过低，将会导致政府过早的进行干预，从而丧失了市场发展与繁荣的动力；如果过高，将导致市场失灵，金融机构会承担过高的风险。因此，我们根据国外经验认为，当θ40%时，认定该市场投机行为显著，投机泡沫产生。上海房地产业投机度实证分析：第一：数据选取方面，仅选取具有代表意义的近十年的相关数据。第二