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随堂讲义专题六解析几何第一讲直线与圆若直线、圆、椭圆单独命题则属于送分题，因为高考题多在知识交汇点处命题，预测2016年高考中有直线与充要条件综合，直线与圆、椭圆综合的题目，以选择题、填空题的形式出现的可能性较大，也可能以解答题的形式出现．例1已知经过点A(a，2)，B(－a，2a－1)的直线的倾斜角为α且45°α135°，试求实数a的取值范围．思路点拨：由倾斜角α的范围得出斜率k的范围，从而求出参数a的取值范围．解析：当45°α90°时，k1，即2a－3－2a1；当90°α135°时，k－1，此时2a－3－2a－1；当α＝90°时，a＝0，解得0a34或a0或a＝0.∴a的取值范围是－∞，34.根据正切函数的单调性，要分45°α90°，α＝90°，90°α135°三种情况讨论，特别注意α＝90°时容易遗漏．1．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①⑤(写出所有正确答案的序号)．①15°②30°③45°④60°⑤75°解析：本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．两平行线间的距离为d＝|3－1|1＋1＝2，222＝12所以直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.例2“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件思路点拨：本题可以根据两直线垂直的充要条件来解决．解析：若直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直，则a×3＋(2a－1)×a＝0.解得a＝0或a＝－1.故a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．答案：A两条直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1，垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0，要熟练掌握这一结论．2．当a为何值时，(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行？(2)直线2x＋ay＝2与直线ax＋2y＝0垂直？解析：解法一(1)当a≠0时，由3a－11＝－a2a≠－1－1知两直线平行，解方程组3a－1≠1，3a－1＝－12，得a＝16，当a＝0时，两直线方程分别为x－1＝0和x＋1＝0，显然平行．故当a＝0或16时，两直线平行．(2)当a≠0时，由两直线垂直知－2a·－a2＝－1，但此方程无解，因此两直线不可能垂直．当a＝0时，两直线分别为x＝1和y＝0，显然这两条直线垂直，故只有当a＝0时，两直线垂直．解法二(1)若两直线平行，则1×(－a)＝2a×(3a－1)且1×(－1)≠(3a－1)×(－1)，解得a＝0或a＝16.(2)若两直线垂直，则2×a＋a×2＝0，∴a＝0.例3在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围．(2)求圆C的方程．(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解析：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.由题意应有b≠0且Δ＝4－4b＞0.∴b＜1且b≠0，即b的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．(2)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，∴D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.此方程有一个根为b.∴b2＋E·b＋F＝0.而F＝b，∴E＝－b－1.∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点(0，1)和(－2，1)，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得x0＝0，y0＝1或x0＝－2，y0＝1.经验证：点(0，1)，(－2，1)均在圆C上，因此圆C过定点．求圆的方程一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．3．已知点A(－1，1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程是8．解析：由反射定律得点A(－1，1)关于x轴的对称点B(－1，－1)在反射光线上，当反射光线经过圆心时，最短距离为|BC|－R＝（5＋1）2＋（7＋1）2－2＝10－2＝8.例4已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l的斜率的取值范围．(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解析：(1)由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.若m＝0，则k＝0.若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m·1m＝12，∴0＜k≤12.若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m＋1－m≥－12（－m）·1－m＝－12，∴－12≤k＜0.综上所述，k∈－12，12.(2)圆C方程变为：(x－4)2＋(y＋2)2＝4.其圆心C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝2（m2＋1）m2＋（m2＋1）2＝2（m2＋1）m4＋3m2＋1.设直线l被圆C所截弦对的圆心角为α.则cosα2＝dr＝m2＋1m4＋3m2＋1＝124m4＋8m2＋4m4＋3m2＋1＝121＋3m4＋5m2＋3m4＋3m2＋1＞12.∴α2＜π3，α＜23π.故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧．误区警示：本题极易出现没有对m讨论或讨论不全面的错误．(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．(2)本题还体现转化的思想：将弧长之比为12转化为圆心角能否等于23π解决，这样问题就变得较清楚明了．4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(C)A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)1．涉及直线的斜率时应注意斜率为0及斜率不存在两种特殊情况．2．两条直线平行或垂直的条件应根据直线方程的形式加以正确选择．3．通常将直线与圆、圆与圆的位置关系转化为相应的数量关系进行讨论．4．直线与圆、圆与圆的交点问题转化为二元二次方程组来解决问题．5．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0.6．重视求直线方程及圆的方程时待定系数法的应用．7．解题时注意数形结合思想的应用．