不等式证明的若干方法研究

I目录前言.................................................................................................................................................11证明不等式的基本方法和技巧..................................................................................21.1作差法.............................................................................................................................21.2作商法.............................................................................................................................21.3反推发.............................................................................................................................31.4综合法.............................................................................................................................41.5数学归纳法....................................................................................................................41.6反证法.............................................................................................................................51.7换元法.............................................................................................................................61.8放缩法.............................................................................................................................62微积分在不等式证明中的应用..................................................................................72.1利用函数的单调性证明不等式.................................................................................72.2利用微分中值定理证明不等式................................................................................82.3利用泰勒公式证明不等式.........................................................................................92.4利用定积分不等式性证明不等式.........................................................................102.5利用函数的凹凸性证明不等式..............................................................................103著名不等式..........................................................................................................................123.1著名不等式..................................................................................................................123.2著名不等式在不等式证明中的应用.....................................................................154总结分析...............................................................................................................................18参考文献.....................................................................................................................................18致谢................................................................................................................错误!未定义书签。1摘要本文首先介绍了不等式证明的一些基本技巧和方法，如作差法、作商法、数学归纳法、反证法等.其次，介绍了微积分在不等式证明中的应用，如利用微分中值定理、函数凹凸性、泰勒公式等来证明不等式.最后，介绍了几个著名不等式及它们之间的联系，并举例说明著名不等式在其他不等式证明中的应用.通过上述研究，我们发现不等式的证明方法多种多样，证法因题而异，技巧性强.掌握不等式证明的各种方法，对于我们进一步的学习具有很大的启发性，也有助于我们灵活多变的去解决相应的实际问题.关键词:不等式；证明方法；方法探究.2AbstractThispaperfirstlyintroducessomebasictechniquesandmethodsoftheinequalityproof,suchaspoorlaw,commerciallaw,mathematicalinduction,reductiontoabsurdity,etc.Secondly,itintroducestheapplicationofcalculusinaninequation,suchasusingthedifferentialmeanvaluetheorem,functionisconcaveandconvex,Taylor'sformulatoproveinequalityandsoon.Finally,thispaperintroducesseveralfamousinequalitiesandthecontactbetweenthem,andillustratethefamousinequalitiesintheapplicationoftheotherinequalitiesareproved.Throughtheaboveresearch,wefoundthattheinequalityproofmethodisvaried,proofowingtothedifferentproblems,technicalstrength.Masteraninequationmethods,hasagreatenlighteningforustofurtherstudy,alsohelpsustoflexibleandchangeabletosolvepracticalproblems.Keywords:inequality;proofmethod;researchmethod.1不等式证明的若干方法研究前言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系比相等关系更加广泛的存在于现实世界，但人们对于不等式的认识要比等式迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.相对于等式的可确定性，不等式更像是确定一个界限，制定一个条件来规范和划定一个范围，所以不等式的证明是非常有趣和富有挑战性的.不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强.其最基本的方法是应用定义及基本性质，并通过代数变换给予证明.若要追寻一个大家所熟知的不等式的起源是很困难的，它的初次出现，可能是在一篇关于几何或文学方面的论文中作为一个辅助命题，但在出现的时候却又没有明确的表达出来.过了若干年后，它又可能被几个不同的作者重新发现，但也许没有一个叙述是十分完善的.我们几乎常常发现，即使对于那些非常著名的不等式，也还是可以增添一点新东西的，像不等式这样的一个内容，它在数学的各个方面皆要用到.在研究数学不等式的过程中，有许多内容都十分有用的，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法.在本文中，我们就不一一说明了，主要介绍证明不等式的一些基本技巧和方法方法、利用函数证明不等式的方法和利用著名不等式证明其他不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以更好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度去研究数学不等式.21证明不等式的基本方法和技巧1.1作差法不等式证明中的作差法可简述为：在比较两个实数a和b的大小时，借助ab的符号来判断的方法.若0ba，则ba；若0ba，则ba；若0ba，则ba.作差法又称为比较法，其一般步骤为：第一步：作差；第二步：变形；第三步：判断（正号、负号、零）.在第二步变形时，我们又有如下常用的方法：配方、通分、因式分解以及和差化积等.下面我们举例说明作差法在不等式证明中的应用：例1已知：0a，0b，求证：abba2.证明（法1）因为02)(2222baabbaabba,所以abba2.1.2作商法作商法是指在比较两个数),(,一般均为正数baba大小时，通过比较ba与1的大小来判断ba,大小的方法.其一般步骤为：第一步：作商；第二步：变形；第三步：判断（大于1、小于1或等于1）.下面举例说明作商法在不等式证明中的应用：例2已知：Rcba,,,求证：3)(cbacbaabccba.3证明（方法1）由于不等式3)(cbacbaabccba关于cba,,对称，因此不妨假设0cba，则1)()()()(3333cacbbacbacbacacbbaabccba.故3)(cbacbaabccba.1.3反推发反推法是指从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（或明显成立的不等式、已知不等式等）的方法.在利用反推法证明问题时，需注意其每一步的推导过程都必须可逆.反推法又称为逆推法、分析法.下面用反推法证明例1.证明（法2）要证原不等式成立只需证abba