梁的强度和刚度计算

第九章梁的强度和刚度计算梁横截面上的正应力梁横截面上的剪应力梁的强度计算弯曲中心的概念梁的变形和刚度计算应力状态和强度理论小结第一节第二节第三节第四节第五节返回第六节第七章梁的强度和刚度计算本章研究梁的应力和变形计算，解决梁的强度和刚度计算问题。梁的一般情况是横截面上同时存在剪力和弯矩两种内力，称作剪力（横力）弯曲。与此相应的截面上任一点处有剪应力τ和正应力σ。且剪应力τ只与剪力Q有关，正应力σ只与弯矩M有关。横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲称作纯弯曲。如图简支梁，AC、DB段为横力弯曲；CD段为纯弯曲。返回下一张上一张小结第一节梁横截面上的正应力一、实验观察与分析：为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。用三关系法：实验观察→平面假设；几何关系→变形规律，物理关系→应力规律，静力学关系→应力公式。①横线仍为直线,但倾斜角度d；②纵线由直变弯,仍与横线正交,凸边伸长,凹边缩短；③横截面相对于纵向伸长区域缩短，纵向缩短区域伸长。假设:①平面假设—变形前后横截面保持平面不变；中性层—长度不变的纤维层；中性轴—中性层与横截面的交线。②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。返回下一张上一张小结二、正应力公式的推导：（一）变形几何关系：;ydyddxS取梁微段dx考虑变形几何关系，得应变规律：当M0时：y0,ε0，为受拉区；y0,ε0,为受压区。（二）物理关系：yEE由假设2及虎克定律，梁横截面上的正应力变化规律为：此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴（z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,σ＝0；上下边缘处有ymax，故有σmax。返回下一张上一张小结（三）静力学关系：00ydEdN;00zydAEdAzMyMdAyEMdAyMz2zMy—中性轴Z必通过形心。—中性轴是截面的形心主轴。纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。式中:Iz—截面对其中性轴的惯性矩；M—截面上的弯矩；y—所求正应力点到中性轴的距离。—纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式为避免符号错误，计算中各量以绝对值代入，σ符号依点所处区域直接判断。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受拉区和受压区；M0,上压下拉；M0，上拉下压。）;1zEM—纯弯曲梁的变形计算公式返回下一张上一张小结正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（σ≤σp）；③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。（一般l/h5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ5％。）例7-1图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。解：（1）计算C截面的弯矩M（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩（3）求a、b两点的正应力mKNPMc35.122433583012181212cmbhz;09.310583006.010383MPayMzaca.3;63218cmycmyba;54.110583003.010383MPayMzbcb;92182maxcmhy;63.4105830109103max823maxmaxMPayMzc(4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力-max（在截面上下边缘。）返回下一张上一张小结例7-218号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两点处的正应力。解：(1)求D截面的弯矩：MD=30kN.m;3.143;3.143101660103.791030;3.797.102180833MPaMPayMmmyybzaDaba(3)求D截面a、b两点的正应力：(2)确定中性轴位置和截面惯性矩：查型钢表IZ=1660cm4返回下一张上一张小结第二节梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁：矩形截面梁任意截面上剪力Q都与对称轴重合。对狭长横截面上剪应力的分布规律可作两个假设：(1)横截面上各点均与该面上Q同向且平行；(2)剪应力沿截面宽度均匀分布。从梁微段中取窄条cdmn分析：;bIQSzz;,,;0,0''21QdxdMbdxIdMSdTNNxzz;';;211*bdxdTSIdMMNSIMdANzzzzA返回下一张上一张小结矩形截面剪应力计算公式：bIQSzz*式中:Q—横截面上的剪力；Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；b—所求剪应力作用点处的截面宽度；Sz＊—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。矩形截面：);4(2,222/11*yhbbdyydAySbdydAhyAz);4(6)4(222322yhbhQyhIQz,123bhIzτ沿截面高度按抛物线规律变化。;2346,0;0,232maxbhQbhQhyhy;2323maxAQ平均剪应力）（由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪应变沿截面高度也按抛物线规律变化，引起截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。返回下一张上一张小结二、其它形状截面的剪应力：1.工字形截面梁：工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。式中:Q—横截面上的剪力；h1—腹板高度；Iz—截面对z轴惯性矩；d—腹板厚度；Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；（对于型钢，Szmax：Iz的值可查型钢表确定）ozzIQS水平dhQ1max或故中性轴处有最大剪应力2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在“剪应力流”的规律。dQSzzmaxmaxSz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩；δo—翼缘厚度。返回下一张上一张小结2.T字型截面：T字型截面与工字型截面相似，最大剪应力仍发生在截面中性轴上。其腹板上应力为：dIQSzz*3.圆形及环形截面：圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，其值为：圆形截面薄壁环形截面1max34AQ2max2AQ式中：Q—截面上的剪力A1、A2—圆形、薄壁环形截面的面积所有开口薄壁截面的剪应力均符合“剪应力流”规律。返回下一张上一张小结例7-3：矩形截面简支梁如图,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m.试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最大剪应力.3*43323625.55.410281012151012cmyScmbhczzMPabSQzzAk252.01010102810102361031433MPaAQ3.01010151035.15.123max解：1、求剪力：QA=3kN2、求K点剪应力：3、求最大剪应力：返回下一张上一张小结例7-4倒T形截面外伸梁如图,已知：l=600mm,b=30mm,P1=24kN,P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,试求梁横截面上的最大剪应力。解：1.求最大剪力：Qmax＝15kN,在CB梁段。;77800723021212221*mmbyyASoz2.求最大剪应力：MPabISQzz79.6301057377800101543max在中性轴上。返回下一张上一张小结第三节梁的强度计算一、梁的正应力强度条件：为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行梁的强度计算。危险截面—最大应力点所在截面;(等直梁为最大内力截面）危险点—危险截面上的最大应力作用点。等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。;maxmaxmaxmaxzzWMIyM各种型钢查表。环形截面：圆形截面：矩形截面：形的能力；单位：，反映截面抵抗弯曲变抗弯截面系数（模量）);1(32;32;6.,___433233DWDWbhWmmmWzzzz定。弯曲许用应力，查表确度条件：对称截面梁的正应力强__maxmax][zWM定。弯曲许用应力，查表确强度条件：非对称截面梁的正应力__maxmax][zWM;maxyIWzz令返回下一张上一张小结(1)强度校核:(2)选择截面:(3)确定梁的许可荷载%105%105maxmax截面尺寸取整！）00maxmax105(,bdMWz.][][]([][][;minmaxmax）为取PPPkAQQPWMMQMz二、剪应力强度条件：验确定。材料的许用剪应力，试__max][AQk。各种型钢查表或环形截面：圆形截面：矩形截面：)(1;2;34;231maxmaxdhQkkkk三、梁的强度计算：一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方面的强度计算：返回下一张上一张小结例7-5图示为T形截面的铸铁梁。已知：y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN,a=1m,铸铁许用拉应力[+]=30MPa,许用压应力[-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。解：(1)作出梁的弯矩图,可知:MC=3.0KN.m;MD=-4.8KN.m(2)梁的两个抗弯截面模量为:;7.868.8763;7.1462.5763322311cmyWcmyWzz(3)C截面的正应力强度校核:(4)D截面的正应力强度校核:(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D截面的下边缘处,其值分别为:;5.20107.146103;7.34107.86103631max632maxMPaWMMPaWMDc;3.55107.86108.4;7.32107.146108.4632max631maxMPaWMMPaWMDD;3.55;7.34maxmaxMPaMPa返回下一张上一张小结例7-6：试为图示的施工用钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力[]=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。解:(1)由正应力强度条件设计截面尺寸mKNM8.9maxcmbcmhcmbcmhcmhhhhbhWcmMWzz13,18;9.12,2.176288;843616628106.15108.933322363max(2)校核剪应力强度(3)按剪应力强度条件重新设计截面MPaAQkNQ14.310131810495.15.1;4943maxmaxcmbcmhcmhhbhAmQAAQ18,24;43243;4310432107.110495.15.1;5.12222463maxmaxmax返回下一张上一张小结例7-7一外伸梁如图所示,梁上受集中力P的作用.已知a=25cm,l=100cm,梁由2.6号工字钢制成,材料的弯曲许用正应力[]=170MPa,许用剪应力[]=100MPa,试求此梁的许可荷载[P].解:查表得:(1)按正应力强度条件确定[P](2)校核剪应力强度此梁的许可