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天津大学《高等数学》课程教学大纲课程代码：21000042100005课程名称：高等数学2A高等数学2B学时：176学分：11学时分配：授课：176上机：0实验：0实践：0实践（周）：0授课学院：理学院更新时间：2011年7月适用专业：本科工科专业先修课程：中学里的初等数学课程一、课程的性质与目的本课程的研究对象是函数（变化过程中量的依赖关系）。内容包括函数、极限、连续，一元函数微积分学，向量代数与空间解析几何学，多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数（含Fourier级数）与常微分方程等。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。二、教学基本要求通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。三、教学内容第一章函数与极限理解函数、复合函数及分段函数的概念；理解极限、左极限与右极限的概念；理解无穷小、无穷大的概念；理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）；掌握基本初等函数的性质及其图形；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则；掌握利用两个重要极限求极限的方法；掌握无穷小的比较方法；了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；了解反函数及隐函数的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理和介值定理）；会建立简单应用问题中的函数关系式；会利用极限存在的两个准则求极限；会用等价无穷小求极限；会判别函数间断点的类型；会应用闭区间上连续函数的性质。第二章导数与微分理解导数和微分的概念；理解导数与微分的关系；理解导数的几何意义；理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；掌握基本初等函数的导数公式；了解导数的物理意义；了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性；了解微分在近似计算中的应用；了解高阶导数的概念；会求平面曲线的切线方程和法线方程；会用导数描述一些物理量；会求函数的微分；会求简单函数的n阶导数；会求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。第三章微分中值定理与导数应用理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；了解柯西中值定理；了解曲率和曲率半径的概念；会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理；会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。第四章不定积分理解原函数、不定积分的概念；掌握不定积分性质；掌握不定积分的基本公式；掌握换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。第五章定积分及其应用理解定积分的概念；理解变上限定积分定义的函数及其求导公式；掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分法；了解广义积分的概念并会计算广义积分。掌握定积分的元素法；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）。第六章微分方程理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念；了解微分方程的幂级数解法；会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降价法解下列方程：)()(xfyn，),(yxfy和),(yyfy了；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二级常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；会解欧拉方程，了解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组；会用微分方程解决一些简单的应用问题。第七章向量代数与空间解析几何理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示；理解曲面方程的概念；掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法；掌握平面方程和直线方程及其求法；了解两个向量垂直、平行的条件；了解常用二次曲面的方程及其图形；了解平面曲线的参数方程和一般方程；了解；会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。第八章多元函数微分学及其应用理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；理解多元函数偏导数和全微分的概念；理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元复合函数偏导数的求法；掌握方向导数与梯度的计算方法；掌握多元函数极值存在的必要条件；了解二元函数的偏导数和全微分的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；了解全微分存在的必要条件和充分条件；了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用；了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念；了解二元函数极值存在的充分条件；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程；会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。第九章重积分理解二重积分、三重积分的概念；掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法；了解重积分的性质，了解二重积分、三重积分的概念，了解二重积分的中值定理；会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。第十章曲线积分与曲面积分理解两类曲线积分的概念；掌握计算两类曲线积分的方法；掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件；掌握计算两类曲面积分的方法；了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系；了解高斯公式、斯托克斯公式；会用斯托克斯公式计算曲线积分；会用高斯公式计算曲面积分；会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）；会计算散度与旋度。第十一章级数理解数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念；掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件；掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法；掌握交错级数的莱布尼茨定理；掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握xe，xsin，xcos，)1ln(x和)1(x的麦克劳林展开式；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；了解幂级数在近似计算上的简单应用；了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理；会用根值审敛法；会求一些幂级数在收敛区间内的和函数；会将一些简单函数间接展开成幂级数；会将定义在],[ll上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在],0[l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。四、学时分配教学内容授课上机实验实践实践(周)第一章函数与极限160000第二章导数与微分140000第三章微分中值定理与导数应用140000第四章不定积分120000第五章定积分及其应用200000第六章微分方程140000第七章向量代数与空间解析几何140000第八章多元函数微分学及其应用220000第九章重积分140000第十章曲线积分与曲面积分180000第十一章级数180000总计：1760000五、评价与考核方式课程采用闭卷笔试与平时成绩相结合的考核方式。六、教材与主要参考资料教材:《高等数学》（上、下册）天津大学数学系编著，高等教育出版社,2010年8月。参考资料:1.《高等数学》（上、下册）天津大学高等数学教研室编，天津大学出版社,2000年8月。2.《高等数学解题方法》（上、下册）邱忠文、杨则燊主编，天津大学出版社，2002年5月。TUSyllabusforAdvancedMathematicsCode:21000042100005Title:AdvancedMathematics2AAdvancedMathematics2BSemesterHours:176Credits:11SemesterHourStructureLecture：176ComputerLab：0Experiment：0Practice：0Practice(Week)：0Offeredby:SchoolofScienceDate:July,2011for:engineeringscienceundergraduatePrerequisite:ElementaryMathematicsinmiddleschool1.ObjectiveTheabilityoftheabstractthought,logicalreasoning,theimaginaryinspaceandself-studyforstudentwillbetrainedduringtheprocessofteaching.Theabilityofadroitcalculus,analyzingandsolvingtheproblemapplyingtheirknowledgealsowillbetrainedforspecialnote.2.CourseDescriptionThiscourseconsidersthefunctionsastheobjective.Thecontentincludesfunctions,limits,andcontinuity;singlevariablecalculus;vectoralgebraandspatialanalyticalgeometry;multivariatecalculus;infiniteseries(includingFourierseries);ordinarydifferentialequations.Thiscoursepreparesstudentsforsubsequentcoursesinmathematics,sciences,engineering,andmanagement.Uponsuccessfulcompletionofthiscourse,studentswillbeabletomasterthefundamentalconcepts,theorems,andmethodsofcalculus,anddevelopproblem-solvingskillsusingcalculustosolveproblemsarisinginothercoursesandinreallife.3.TopicsChapterone:FunctionandLimitsComprehendtheconceptionofthefunction,componentfunction,piecewisefunction,limit,leftlimit,rightlimit,infinitesimal,infinity,continuity(includesleftcontinuityandrightcontinuity).Masterthepropertiesofbasicelementaryfunctionsandtheirgraphs,thepropertiesofthelimitsandtheirarithmeticc