余式定理及因式定理的应用

1初二数学竞赛培训专题：余式定理及因式定理的应用初二（）班姓名：学号：_一、知识要点：1、xf的意义：已知多项式xf，若把x用c带入所得到的值，即称为xf在x=c的多项式值，用cf表示。2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式xf除以xg所得的商式为xq，余式为xr，则：xf=xg×xq+xr3、余式定理：多项式)(xf除以bx之余式为)(bf；多项式)(xf除以bax之余式)(abf。4、因式定理：设Rba,，0a，)(xf为关于x的多项式，则bx为)(xf的因式0)(bf；bax为)(xf的因式0)(abf。二、余式定理应用：1、（1）已知132)(3xxxf，求f(x)除以)1(x、12x所得的余式；（2）设f(x)=2x2+kx+10除以2x–1余5，求k的值；（3）以x2–3x–4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式3x+2与–4x+7，求以x–4除f(x)+g(x)所得的余式。2、设6302546)(2345xxxxxxf，求f(7)。3、计算：（1）2001246012161258127122345；（2）7111511561172114112345。24、（1）)(xf、xg都是多项式，已知221f，2521g，则以12x除xgxf之余式是什么？（2）)(xf除以12x之余式为23x，且)(xg除以322xx之余式为25x，则1x除)()15()()3(2xgxxfx的余式是什么？三、因式定理应用：1、设x–2为f(x)=3x3+x2–kx+5的因式，试求k的值。2、已知x+1与x–2都是4324bxaxx的因式，试求a与b的值。3、设k为负整数，若f(x)x42x3x2kx3有整系数一次因式，求k之值。4、设x3+x2–47x–15有因式3x+1与2x–3，则第三个因式是什么？5、试证明：(1)1x是的19x因式。(2)ax是的nnax因式。(n是正整数)(3)f(x)=(x+6)n–1可被x+5整除。(n是正整数)3四、整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111cxcxcxcnnnn为整系数多项式，若ax–b为f(x)之因式(其中a,b为整数,a0,且a,b互质)，则（1）0,cbcan（2）(a–b))1()(,)1(fbaf例1、设61923)(23xxxxf，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x–1，(2)x–2，(3)3x–1，(4)4x＋1，(5)x–1，(6)3x–4例2、把下列多项式分解因式：(1)453xx(2)6423xxx(3)245323xxx（4）1027259234xxxx（5）31212165234xxxx五、用待定系数法求多项式：技巧：若)(xf除以)(xg之余式为)(xr，若)(xg的次数为n，则可设：011222211)(axaxaxaxaxrnnnn。1、已知多项式xf，且51f，62f，则xf除以232xx的余式是什么？42、)(xf除以1x得余式5，)(xf除以2x得余式7，则)(xf除以)2)(1(xx的余式是什么？3、设)3(nn次多项式f(x)除以1x，2x，3x的余式分别是3,7,13,试求f(x)除以)3)(2)(1(xxx的余式？4、)(xf除以232xx得余式3，除以342xx得余式x3，则)(xf除以652xx的余式为何？5、设多项式f(x)为三次多项式式，若f(1)=f(2)=f(3)=0，f(4)=12，试求xf？6、设多项式f(x)为二次多项式式，且f(1998)1，f(1999)2，f(2000)7，求f(2002)。7、设实系数f(x)=x3+ax2+bx+c且f(x)除以x+1的余式为9，除以x2–x+1的余式为5x+2，试求a,b,c的值。8、求整数（13101341）除以整数（132131）所得的余数。5