数学分析中不等式证明的若干方法

1数学分析中不等式证明的若干方法作者学号：0700000（巢湖学院数学系安徽巢湖238000）摘要：不等式的证明问题在高等数学通用教材数学分析中经常会遇到，是数学分析课程学习中的一个重要内容，灵活的运用函数的单调性、最值、凹凸性，以及微分中值定理，泰勒公式、赫尔德不等式、柯西、施瓦兹不等式等数学知识对不等式问题进行分析、构造与转化，是解决不等式证明的常用方法。本文通过对几个不等式例题的解答，对这些常用的不等式证明方法进行简单的论述。关键字：不等式；单调性；中值定理；泰勒公式SeveralMethodsofProofofInequalitiesinMathematicalAnalysisZhouLinaStuNo：0700000（DepartmentofMathematics,ChaohuCollege,ChaohuAnhui238000）Abstract:Weoftenencountertheproblemofinequalityproofinhighermathematicswhichisanimportantpartinthemathematicalanalysis.Therearesomemethodsforprovinginequalitiesbyusingthemonotonicityoffunction,maximumandminimum,convexity,differentialmeanvaluetheorem,Taylorformula,Hölder'sinequality,CauchyinequalityandSchwarzinequality.Inthispaper,weutilizeseveralexamplestoreviewthesemethods.Keywords:inequality;Monotonicity;meanvaluetheorem;Taylorformula引言不等式这部分知识，渗透在数学分析的各部分内容中，有着十分广泛的应用。不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融汇贯通，起到了很好的促进作用。在解决不等式的证明问题时，要依据题目、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的证明。不等式在数学中占有重要地位，由于其本身的完美性及证明的困难性，使不等式成为各类考试中的热门试题。本文通过灵活运用函数的单调性、极值、最值、凸性函数、以及中值定理与泰勒公式、柯西不等式、赫尔德不等式、施瓦兹不等式等数学知识,借助实例对不等式问题进行分析、构造、转化，总结几种常见的不等式证明方法，举例如下。2一、利用函数单调性证明不等式函数不等式是函数之间的大小关系，应用函数单调性的判别法可证明一些函数的不等式。定义1[1,pp.17]若函数()yfx在[,]ab上单调递增，则有()()()fafxfb；若函数()yfx在[,]ab上单调递减，则有()()()fafxfb。例1证明当02x时，3tan3xxx。证明：令3()tan3xfxxx，则(0)0f，而'22()sec1(tan)(tan)fxxxxxxx。当02x时，tan0xx。记()tangxxx，有(0)0g又22()sec1tan0gxxx，所以()gx单调递增，有()(0)0,(0,)2gxgx，从而'()0,()fxfx单调递增。又有()(0)0,(0,)2fxfx，即有3tan,(0,)32xxxx另外，也可以利用辅助函数的单调性来证明不等式。辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，寻找到一个辅助函数，通过求导确定辅助函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的辅助函数构造方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。例2设,bae证明不等式abba成立。分析：要证abba，只需要证明lnlnaabb或者lnlnbaab。解法一：构造辅助函数()ln,fxxxxe，则有'()1ln20()fxxxxe，因此()fx单调递减。故当bae时有lnlnaabb，即abba。解法二：构造辅助函数()lnln()fxxaaxxa。因为'()ln10()fxaaxaxxa，所以()fx在xa时单调递增，因此当ba时，有()()0fbfa，即有lnlnbaab，即abba。二、利用函数的最值证明不等式定理1(最大、最小值定理)函数f在闭区间[,]ab上连续，则f在[,]ab上有最大值与最小值[1,pp.76]。3函数()yfx在闭区间[,]ab上连续，根据最值定理可知，函数必在该闭区间上取得最大值和最小值。当函数取得最小值m时，对任意的[,]xab，有()fxm，当函数取得最大值M时，对任意的[,]xab，有()fxM例3若1p，证明不等式111(1),[0,1]2pppxxx成立[2]。证明：设()(1),[0,1]ppfxxxx，则'()(1),[0,1]ppfxpxpxx。令'()0fx，得12x。又因为111()(1),(0)1,(1)122pfpff，可得11max()1,min()2pfxfx。所以有111(),[0,1]2pfxx，即不等式111(1),[0,1]2pppxxx成立。例4设,pq是大于1的常数，且111,pq证明对任意的0x，不等式11pxxpq恒成立。证明：令11()pfxxxpq，则'1''2()1,()(1)ppfxxfxpx。令'()0fx，得''1,(1)1xfp。所以当1x时，函数取得极小值，即最小值，从而对于任意的0,()(1)0xfxf，有11pxxpq恒成立。注：由上例可以看出，将待证明的不等式换成它的等价的形式，从而使问题得以简化，也就是说，在证明一些不等式时，将不等式进行适当的变形是很必要的。三、利用函数的凹凸性证明不等式定义2[1,pp.148]如果),()(baxf在内存在二阶导数()fx，则(1)若对(,)()0xabfx有，则函数)(xf在),(ba内为凸函数。(2)若对(,)()0xabfx有，则函数)(xf在),(ba内为凹函数。定义3[1,pp.151]若函数),()(baxf在内是凸(或凹)函数时，对),(,,,21baxxxn及nii11，有Jensen(琴森)不等式niniiiniiiiiniiixfxfxfxf1111)()(　或　　。4等号当且仅当nxxx21时成立。例5证明下列不等式),2,1,0(111212121nianaaaaaaaaaninnnn　　分析：上式只要能证明),2,1,0(2121nianaaaaaainnn　　，如果用前面所述的几种方法来证明显然不合适，因为对它求导后不等式会更复杂。而这里的ia可以看作是同一函数的多个不同函数值，设xxfln)(那么就可以用Jensen不等式来证明它。然后只要令xxf1ln)(，同理可得　nnnaaaaaan2121111。证明：令)0(ln)(xxxf　　。因为01)(2xxf，所以),0()(在xf是凹函数，则对),0(,,,21naaa有)()()(1)(12121nnafafafnaaanf，即nnaaanaaanlnlnln1)(1ln2121，又因为nnnaaaaaan2121lnlnlnln1，所以　naaaaaannn2121。令xxf1ln)(，则同理可得　nnnaaaaaan21211115所以),2,1,0(111212121nianaaaaaaaaaninnnn　　。例6证明不等式3()abcabcabcabc，其中,,abc均为正数。证明：设()ln,0fxxxx。由()fx的一阶和二阶导数1()ln1,()fxxfxx可见，()lnfxxx在0x时为严格凸函数，依詹森不等式有1()(()()())33abcffafbfc，从而1ln(lnlnln)333abcabcaabbcc，即()3abcabcabcabc，又因33abcabc，所以3()abcabcabcabc。四、利用微分中值定理和泰勒公式证明不等式定理2（微分)(Lagrange中值定理[1,pp.120]）若)(xf满足以下条件：(1))(xf在闭区间],[ba内连续，(2))(xf在开区间),(ba上可导，则()()(,)()fbfaabfba。例7若)()(1,011yxpyyxyxpypxypppp则　分析：因为,0xy则原不等式等价于11pppppxyxyxpy)1(p。令ptxf)(，则我们容易联想到Lagrange中值定理yxyfxfyxf)()())(('。证明：设pttf)(，显然],[)(xytf在满足Lagrange中值定理的条件6则,)()()(),(yxyfxffxy　　即yxyxpppp＝1。111,),(ppppxppyxyxy　　　　　　)()(11yxpyyxyxpypppp　例8设)(xf在],[ba上连续可导，且()()0fafb，则dxxfabxfbabxa)()(4)(max2'证明：设)(max'xfMbxa，则由中值公式，当),(bax时，有))(())(()()(11axfaxfafxf))(())(()()(22bxfbxfbfxf其中12(,),(,)axxb。由此可得)()()()(xbMxfaxMxf及所以4)()()()()()(22222abMdxxbMdxaxMdxxfdxxfdxxfbaabbababaabba　　　　　　　　　　即badxxfabM)()(42所以dxxfabxfbabxa)()(4)(max2。在论证涉及到函数导数的不等式时,常常需要利用泰勒公式来证明。看下面的例子。例9证明:).11(,32)1ln(32xxxxx　　证明：设)11)1ln()(xxxf　（则)(xf在0x处有带有拉格朗日余项三阶泰勒公式7)11()1(432)1ln(4432　　　xxxxx0)1(444x　32)1ln(32xxxx　由以上证明可知，用泰勒公式证明不等式，首先构造函数，选取适当的点0x在0x处展开，然后判断余项)(xRn的正负，从而证明不等式。五、利用柯西不等式证明不等值定理3设ia，ib为任意两组实数),,2,1(ni有niiniiiniibaba121221（1）其中等号当且仅当ia与ib成比例时成立，(1)式称为Cauchy不等式。用柯西不等式证明不等式，关键是要根据题目的结构特点，构造出适当的两组实数，可以变形、拆项、添项，还要会用隐形的1及拆分(如111nin)，同时，与其他定理的应用一样，对柯西不等式也既要正用，又要逆用、变用、连用和巧用。例10设ABC与111ABC的边长分别为a、b、c与1a、1b、1c，面积分别为S与1S,证明22222222222211