1-3梯度-散度-旋度

111--33梯度－散度－旋度梯度－散度－旋度“三度”、“三定理”“三度”、“三定理”梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度1.1.标量的梯度标量的梯度2.2.矢量的通量、散度、高斯定理矢量的通量、散度、高斯定理3.3.矢量的环流、旋度、斯托克斯定理矢量的环流、旋度、斯托克斯定理4.4.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理5.5.坐标系坐标系((复习复习))————““三度”、“三定理”三度”、“三定理”梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度(English)(English)Gradient——gradgrad[‘greidi:ənt]Divergence——divdiv[dai’və:dʒəns]Curl——curlcurl[kə:l]标量的“梯度”标量的“梯度”等值面：等值面：••等温线等温线••等高线等高线bd等值面ac？“爬山”同样的增量情况下沿什么方向最“陡”？——数学模型：标量函数U，沿某个方向的变化率情况odldll+duu+ul——数学模型标量函数U,沿某个方向的变化率情况方向导数：方向导数：dldUlU⇒ΔΔ等值面lΔ梯度梯度是表示是表示标量标量最大空间增长率最大空间增长率的大小和方向的的大小和方向的矢量矢量。。dndUagradUUnG==∇Gradient——grad标量沿其他方向的变化率标量沿其他方向的变化率lnlaUnUlnnUlUG•∇=∂∂=∂∂∂∂=∂∂)(cos,θ引申出去：ldUdUG•∇=)(∇引入算符——哈密顿算符：HamiltonianHamiltonian2不同坐标系下的表示不同坐标系下的表示zayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG笛卡儿坐标系中：柱面坐标系中：球坐标系中：11sinRaaaRRRθφθθφ∂∂∂∇=++∂∂⋅∂GGG1rzaaarrzφφ∂∂∂∇=++∂∂∂GGG如何记忆？如何记忆？笛卡儿坐标系中微分长度笛卡儿坐标系中微分长度∇⇒dlddzadyadxaldzyxGGGG++=zayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG柱面坐标系中微分长度柱面坐标系中微分长度∇⇒dldU()rzdladrardadzφφ=+⋅+GGGG1rzaaarrrzφ∂∂∂∇=+⋅+∂∂∂GGG球坐标系中微分长度球坐标系中微分长度∇⇒dldU()()sinRdladRaRdaRdθφθθφ=+⋅+⋅⋅GGGG11sinRaaaRRRθφθθφ∂∂∂∇=+⋅+⋅∂∂⋅∂GGG例题例题已知球坐标系下：θθcos),(0⋅⋅==RVRVV求：求：令：令：VE−∇=GG求：求：?=E法一：直接法法一：直接法————求坐标系梯度公式！求坐标系梯度公式！?=−∇=VEG11sinRaaaRRRθφθθφ∂∂∂∇=+⋅+⋅∂∂⋅∂GGG答案答案110)sincos(VaaVERθθθGGG−−=−∇=0)(Rθ3答案答案22法二：分析法法二：分析法————找规律！找规律！zzVRVRVV⋅=⋅⋅==00cos),(θθ利用笛卡儿坐标系！利用笛卡儿坐标系！xyϕθR利用笛卡儿坐标系！利用笛卡儿坐标系！zayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG0VaVEzGG−=−∇=？？答案答案110)sincos(VaaVERθθθGGG−−=−∇=答案答案220VaVEzGG−=−∇=都对都对!!!!作业：求解直角坐标、球坐标彼此间的关系作业：求解直角坐标、球坐标彼此间的关系θθθsincosaaaRZGGG−=?=aG?xa?=yaG?????????xRyzaaaaaaθφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦GGGGGG矢量的“通量”和“散度”矢量的“通量”和“散度”矢量矢量沿某一有向曲面沿某一有向曲面的面积分为的面积分为通过通过的通量。的通量。AKSKAKSK矢量矢量沿某一沿某一有向曲面有向曲面的的面积分面积分称为称为通过该面的通过该面的通量通量。。∫⋅sSdAKK通量通量((FluxFlux))dSaSdnGK=SC⎟⎞⎜⎛•∫sdAGGlim散度散度定义：定义：单位体积的单位体积的净净流散流散通量通量⎟⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎝Δ→Δ=∫VVAdivSG0limzAyAxAAzyx∂∂+∂∂+∂∂=•∇G笛卡儿坐标系中：不同坐标系下的表示柱面坐标系中：球坐标系中：()11zrAAArArrrzφφ∂∂∂∇•=⋅⋅+⋅+∂∂∂K()()22111sinsinsinRAARAARRRRφθθθθθφ∂∂∂∇•=⋅⋅+⋅⋅+⋅∂⋅∂⋅∂K4∂∂∂GGGzayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG笛卡儿坐标系中：笛卡儿坐标系中：?)(?•∂∂+∂∂+∂∂=•∇zayaxazyxGGG散度散度⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛Δ•→Δ=∫VsdAVAdivSGGG0lim散度定义散度定义Divergence——div定义：定义：单位体积的单位体积的净流散净流散通量通量那么：那么：∫∫•=•∇SVsdAdvAGGG)(AAdivGG•∇=散度定理散度定理∫∫•=•∇SVsdAdvAGGG)(矢量场矢量场散度散度的的体积分体积分矢量场矢量场散度散度的的体积分体积分＝该矢量穿过＝该矢量穿过包围该体积包围该体积的的封闭曲面封闭曲面的的总通量总通量也叫“高斯定理”也叫“高斯定理”————Gauss’sLawGauss’sLaw应用•Howavectorfieldischangesaboutapointisoftenmoreimportantthanthevalueofthefieldatthatpoint.•Forvectors,twodifferentindicationsoftheirratesofchangearenecessarytocompletelycharacterizethehchanges.•Theyaredivergenceandcurl高斯定理：找发散矢量场的“源”高斯定理：找发散矢量场的“源”()SVVAdSAdVdV•=∇•=∫∫∫GGGv源Example:Netpositiveflux0SAdS•∫GGvStreamlinesaredirectedawayfromtheoriginStreamlinesaredirectedawayfromtheorigin5矢量的“环量”矢量的“环量”矢量的环量：该矢量矢量的环量：该矢量沿闭合路径沿闭合路径的的标量标量线积分线积分矢量矢量沿沿闭合路径闭合路径的环量＝的环量＝GCldAGG∫矢量矢量沿沿闭合路径闭合路径的环量＝的环量＝ACldAC∫•水的漩涡水的漩涡dlaldlGG=CAGθ矢量的矢量的“旋度”“旋度”liAdl⎛⎞•⎜⎟∫GGv旋度的定义旋度的定义Curl——curllim0CArotAcurlASS⎜⎟∇×===⎜⎟Δ→Δ⎜⎟⎝⎠∫GGG————面环流密度面环流密度————方向：面元的取向使净环量值最大方向：面元的取向使净环量值最大————大小：无限小面元，单位面积上大小：无限小面元，单位面积上AA的净环量的净环量Thecurlofavectorfield•Thecurlofavectorisanindicationofthetendencyofthisvectorto“push”or“pull”alongaclosedpaththatencirclesapoint.•Curlisdefinedasavectorquantity•Thedirectionofthisclosedpathisgovernedbytheright-handrule.•“Paddlewheel“Paddlewheel水车桨轮桨轮(PaddleWheel)(PaddleWheel)桨轮桨轮(PaddleWheel)(PaddleWheel)•ApaddlewheelisplacedinafluidwhosevelocityisrepresentedbythevectorA.•Thetorque(扭矩)willbeexertedonthepaddlewheel,wheneverthereisanonzerocirculationofA.6风眼(wind-eye)风洞zyxzyxzyxABABBBBAAAeeeBAaBAKKKGKK=⋅⋅=×)sin(θ笛卡儿坐标系中笛卡儿坐标系中KKKzyxzyxBBBzyxeeeB∂∂∂∂∂∂=×∇Gzayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG?)(?)(?)((?)(?)−+−+−=×=×yxzxzyzyxBAaBAaBAaBAGGGGG∂∂∂∂)?()?()(xyzzxyyzxBBxaBBzaBzByaB−∂∂+−∂∂+∂∂−∂∂=×∇GGGGzayaxazyx∂∂+∂∂+∂∂=∇GGG斯托克斯定理斯托克斯定理∫∫•=•×∇CSldASdAGGGG)(矢量场旋度矢量场旋度的开放面的的开放面的面积分面积分矢量场旋度矢量场旋度的开放面的的开放面的面积分面积分＝该矢量沿＝该矢量沿包围该表面包围该表面的的封闭曲线的积分封闭曲线的积分————SStokes’stokes’sLLawaw