《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.3.3已知三角函数

1.3.31.3.3已知三角函数值求角【学习要求】1．掌握已知三角函数值求角的步骤和方法．2．了解符号arcsinx，arccosx，arctanx的含义，并能用这些符号表示非特殊角．【学法指导】1．已知三角函数值求角时，要注意解的多值性．由角α的一个三角函数求角α时，所得的角一般情况下不唯一，角的个数要根据角的取值范围来确定．2．牢记一些比较常见的特殊角的三角函数值，会在学习中带来很大的方便.填一填练一练研一研本课时栏目开关填一填·知识要点、记下疑难点1.3.3已知三角函数值时角的表示x∈－π2，π2x∈[0,2π]0≤y≤1－1≤y≤0sinx＝y(|y|≤1)x＝arcsinyx1＝arcsiny；x2＝π－arcsinyx1＝π－arcsiny；x2＝2π＋arcsiny填一填练一练研一研本课时栏目开关填一填·知识要点、记下疑难点1.3.3x∈[0，π]x∈[0,2π]cosx＝y(|y|≤1)x＝arccosyx1＝arccosy；x2＝2π－arccosytanx＝y(y∈R)x∈－π2，π2x∈[0,2π]y≥0y0tanx＝y(y∈R)x＝arctanyx1＝arctany；x2＝π＋arctanyx1＝π＋arctany；x2＝2π＋arctany填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3探究点一arcsina的含义对于arcsina要从以下三个方面去理解：①当|a|≤1时，arcsina表示一个角；②这个角在区间－π2，π2内取值，即arcsina∈－π2，π2；③这个角的正弦值等于a，即sin(arcsina)＝a.因此，a的范围必是|a|≤1，否则arcsina无意义．请你根据符号arcsina的含义写出下列式子的结果：填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3arcsin12＝；arcsin－12＝；arcsin22＝；arcsin－32＝；arcsin0＝；arcsin(－1)＝；arcsinsinπ2＝；arcsinsin34π＝.π6－π6π4－π30－π2π2π4填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3探究点二arccosa的含义对于arccosa要从以下三个方面去理解：①当|a|≤1时，arccosa表示一个角；②这个角在区间[0，π]内取值，即arccosa∈[0，π]；③这个角的余弦值等于a，即cos(arccosa)＝a.因此，a的范围也必须是|a|≤1，否则arccosa无意义．例如arccosπ是没有任何含义的．请你根据符号arccosa的含义写出下列式子的结果：arccos12＝；arccos－12＝；arccos22＝；arccos－22＝；arccos1＝；arccos(－1)＝；arccos－32＝；arccos0＝.π323ππ434π0π56ππ2填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3探究点三arctana的含义对于arctana也要从以下三个方面去理解：①arctana表示一个角；②这个角在区间－π2，π2内，即arctana∈－π2，π2；③这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知a∈R，即tan(arctana)＝a.请你根据符号arctana的含义写出下列式子的结果：arctan1＝；arctan(－1)＝；arctan3＝；arctan(－3)＝；arctan33＝；arctan－33＝；arctan0＝；tan(arctan2)＝.π4－π4π3－π3π6－π602填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3[典型例题]例1已知sinx＝32.(1)当x∈－π2，π2时，求x的取值集合；(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合．解(1)∵y＝sinx在－π2，π2上是增函数，且知sinπ3＝32.∴满足条件的角只有x＝π3.∴x的取值集合为π3.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3(2)∵sinx＝320，∴x为第一或第二象限角且sinπ3＝sinπ－π3＝32.∵在[0,2π]上符合条件的角x＝π3或x＝2π3，∴x的取值集合为π3，2π3.(3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋π3或x＝2kπ＋2π3，k∈Z}．小结方程y＝sinx＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsina，或(2k＋1)π－arcsina，k∈Z}．也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsina，k∈Z}．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3跟踪训练1若sinα＝13，试根据下列范围，利用符号arcsinx表示角α.①若α为锐角，则α＝；②若α为三角形内角，则α＝；③若α∈[0,2π]，则α＝；④若α∈R，则α＝.arcsin13arcsin13或π－arcsin13arcsin13或π－arcsin13kπ＋(－1)karcsin13，k∈Z填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3例2已知cosx＝－13.(1)当x∈[0，π]时，求x；(2)当x∈[0,2π]时，求x；(3)当x∈R时，求x的取值集合．解(1)∵cosx＝－13，且x∈[0，π]，∴x＝arccos－13＝π－arccos13.(2)∵x∈[0,2π]且cosx＝－130.∴x为第二象限角或第三象限角．∴x＝π－accos13或π＋arccos13.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3(3)当x∈R时，x与π－arccos13终边相同或者与π＋arccos13终边相同．∴x＝2kπ＋π－arccos13或x＝2kπ＋π＋arccos13(k∈Z)．∴x的取值集合是x|x＝2k＋1π±arccos13，k∈Z.小结方程cosx＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccosa，k∈Z}．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3跟踪训练2已知cosα＝12，若α∈[0,2π]，则α的集合是；若α∈R，则α的集合是．π3，53πα|α＝2kπ±π3，k∈Z填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3例3(1)已知tanα＝－2，且α∈－π2，π2，求α；(2)已知tanα＝－2，且α∈[0,2π]，求α；(3)已知tanα＝－2，α∈R，求α.解(1)由正切函数在开区间－π2，π2上是增函数可知，符合条件tanα＝－2的角只有一个，故α＝arctan(－2)．(2)∵tanα＝－20，∴α是第二或第四象限角．又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间π2，π、3π2，2π上是增函数，知符合tanα＝－2的角有两个．∵tan(π＋α)＝tan(2π＋α)＝tanα＝－2，且arctan(－2)∈－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3(3)α∈R，则α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．小结方程tanx＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctana，k∈Z}．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.3跟踪训练3已知tanα＝2，且α∈R，则角α的集合是．(用反正切表示)α|α＝kπ＋arctan2，k∈Z填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.31．已知α是三角形的内角，sinα＝32，则角α等于()A.π6B.π3C.5π6或π6D.2π3或π3D填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.32．若sinx＝14，x∈π2，π，则x等于()A．arcsin14B．π－arcsin14C.π2＋arcsin14D．－arcsin14B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.33．若cosx＝13，x∈－π2，0，则x＝.－arccos134．arcsin(－1)＋arctan33＝.－π3填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.3.31．理解符号arcsinx、arccosx、arctanx的含义．每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsinx为例来说明．(1)arcsinx表示一个角；(2)这个角的范围是－π2，π2；(3)这个角的正弦值是x，所以|x|≤1.例如：arcsin2，arcsin3都是无意义的．2．已知三角函数值求角的大致步骤(1)由三角函数值的符号确定角的象限．(2)求出[0,2π)上的角．(3)根据终边相同的角写出所有的角.填一填练一练研一研本课时栏目开关