《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.1.2两角和与差的

3.1.23.1.2两角和与差的正弦【学习要求】1．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质．【学法指导】1．运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值．2．灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题.填一填练一练研一研本课时栏目开关3.1.2填一填·知识要点、记下疑难点1．两角和与差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝.Cα＋β：cos(α＋β)＝.2．两角和与差的正弦公式Sα＋β：sin(α＋β)＝.Sα－β：sin(α－β)＝.3．辅助角公式使asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由决定.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβaa2＋b2ba2＋b2点(a，b)填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2探究点一由公式Cα－β推导公式Sα＋β及Sα－β比较cos(α－β)与sin(α＋β)之间有何区别和联系？利用诱导公式四(或五)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式．答sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β＝cosπ2－αcosβ＋sinπ2－αsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2即sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2探究点二两角和与差正、余弦公式的应用运用两角和与差的正、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值．如果题目中存在互余角，要善于发现和利用．例如，化简：sinπ4－3xcosπ3－3x－cosπ6＋3x·sinπ4＋3x.解原式＝sinπ4－3xcosπ3－3x－sinπ3－3x·cosπ4－3x＝sinπ4－3x－π3－3x＝sinπ4－π3＝sinπ4cosπ3－cosπ4sinπ3＝22×12－22×32＝2－64.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2探究点三辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)使asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．问题1将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A0，ω0，|φ|π2.(1)sinx＋cosx＝；(2)sinx－cosx＝；2sinx＋π42sinx－π4填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2(3)3sinx＋cosx＝；(4)3sinx－cosx＝；(5)sinx＋3cosx＝；(6)sinx－3cosx＝.2sinx＋π62sinx－π62sinx＋π32sinx－π3填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2问题2请写出把asinx＋bcosx化成Asin(ωx＋φ)形式的过程．答asinx＋bcosx＝a2＋b2aa2＋b2sinx＋ba2＋b2cosx＝a2＋b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2[典型例题]例1化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°.解(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝22.(2)(tan10°－3)cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)cos10°sin50°填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2＝sin10°cos10°－sin60°cos60°cos10°sin50°＝sin－50°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－1cos60°＝－2.小结解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2跟踪训练1(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；(3)sinπ12－3cosπ12.解(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.(3)方法一原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2sinπ6sinπ12－cosπ6cosπ12＝－2cosπ6＋π12＝－2cosπ4＝－2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2方法二原式＝212sinπ12－32cosπ12＝2cosπ3sinπ12－sinπ3cosπ12＝2sinπ12－π3＝－2sinπ4＝－2.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2例2已知sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.证明sin(2α＋β)＝3sinβ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα⇒2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα⇒tan(α＋β)＝2tanα.小结证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2跟踪训练2证明：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sinβsinα.证明sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋β＋α]－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2sinαcosα＋βsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.所以原等式成立．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2例3化简下列各式：(1)315sinx＋35cosx；(2)24sinπ4－x＋64cosπ4－x.解(1)315sinx＋35cosx＝6532sinx＋12cosx＝65cosπ6sinx＋sinπ6cosx＝65sinx＋π6.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2(2)24sinπ4－x＋64cosπ4－x＝2212sinπ4－x＋32cosπ4－x＝22sinπ4－xcosπ3＋cosπ4－xsinπ3＝22sin712π－x.小结辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tanφ＝ba确定．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质都要用到该公式．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2跟踪训练3已知函数f(x)＝3cos2x－sin2x，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)f(x)＝－sin2x＋3cos2x＝－212sin2x－32cos2x＝－2sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝－2sin2x－π3，x∈R.∴T＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效3.1.2(2)由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.∴函数的单调递增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z).填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.21．sin69°cos99°－cos69°sin99°的值为()A.12B．－12C.32D．－32解析原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－12.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.22．在△ABC中，A＝π4，cosB＝1010，则sinC等于()A.255B．－255C.55D．－55解析sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝22(cosB＋1－cos2B)＝22×1010＋31010＝255.A填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.23．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈R)的值域是．解析f(x)＝212sinx－32cosx＝2sinx－π3.∴f(x)∈[－2,2]．[－2,2]填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.24．已知锐角α、β满足sinα＝255，cosβ＝1010，则α＋β＝.解析∵α，β为锐角，sinα＝255，cosβ＝1010，∴cosα＝55，sinβ＝31010.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝55×1010－255×31010＝－22.∵0α＋βπ，∴α＋β＝3π4.3π4填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处3.1.21．理顺公式间的逻辑关系Cα＋β―———→以－β代βCα－β―———→诱导公式Sα＋β―————→以－β代βSα－β2．注意公式的结构特征和符号规律对