《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第二章 2.1.4数乘向量课件

2.1.42.1.4数乘向量【学习要求】1．了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．【学法指导】实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模长有关.填一填练一练研一研本课时栏目开关2.1.4填一填·知识要点、记下疑难点1．数乘向量(1)定义：一般地，实数λ与向量a的乘积是一个，这种运算叫做向量的数乘，记作.(2)规定：|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝.(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ0时)或a的反方向(λ0时)扩大或缩小|λ|倍得到．向量λa相同相反0填一填练一练研一研本课时栏目开关2.1.4填一填·知识要点、记下疑难点2．数乘向量的运算律数乘向量运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a＝；(2)λ(μa)＝；(3)λ(a＋b)＝(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.λa＋μa(λμ)aλa＋λbλa－λb填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4探究点一数乘向量的几何意义问题1如何理解数乘向量的几何意义？答向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ0时，沿着a的方向扩大(λ1)或缩小(0λ1)为λ倍；当λ0时，沿着a的反方向扩大(|λ|1)或缩小(|λ|1)为|λ|倍．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4问题2利用数乘向量的几何意义解决平面几何中的相应问题．已知△ABC，作向量OA′→＝3OA→，OB′→＝3OB→，OC′→＝3OC→，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明A′B′—→＝OB′→－OA′→＝3OB→－3OA→＝3(OB→－OA→)＝3AB→.∴|A′B′—→|＝3|AB→|；同理可得|B′C′—→|＝3|BC→|；|C′A′—→|＝3|CA→|.∴△ABC∽△A′B′C′.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4探究点二数乘向量的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4答①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以λ(μa)＝(λμ)a.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4[典型例题]例1已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；(5)若a，b不共线，则λa与b不共线．解(1)正确．∵20，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.(2)正确．∵50，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.∵－20，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4(3)正确．(4)错误．－(b－a)＝－b＋a＝a－b.(5)错误．若λ＝0，则0a＝0，0与任意向量共线．小结对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，λ0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；λ0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；λ＝0时，λa＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4跟踪训练1下面给出四个命题：①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m、n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4C填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4例2计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)123a＋2b－23a－b－7612a＋37b＋76a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)原式＝123a－23a＋2b－b－7612a＋12a＋37b＝1273a＋b－76a＋37b＝76a＋12b－76a－12b＝0.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.小结向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指的是向量，实数看作是向量的系数．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4跟踪训练2计算：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2)13122a＋8b－4a－2b；(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.(2)原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－a.(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4例3O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4解析由于AB→|AB→|表示向量AB→上的单位向量，AC→|AC→|表示向量AC→上的单位向量，所以AB→|AB→|＋AC→|AC→|表示单位向量AB→|AB→|与单位向量AC→|AC→|的和，由向量加法的几何意义可知AB→|AB→|＋AC→|AC→|表示以单位向量AB→|AB→|、AC→|AC→|为邻边的菱形的对角线，所以λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))表示向量AM→(点M在角A的平分线上，其位置由λ确定)．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4∵OP→＝OA→＋AM→＝OM→，∴点P的轨迹为角A的平分线．小结向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．答案B填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效2.1.4跟踪训练3已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则AP→等于()A．λ(AB→＋BC→)，λ∈(0,1)B．λ(AB→＋AD→)，λ∈0，22C．λ(AB→－AD→)，λ∈(0,1)D．λ(AB→－BC→)，λ∈0，22解析AP→与AC→共线，且菱形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，由点P在线段AC→上，得AP→＝λ(AB→＋AD→)，又AD→＝BC→，λ∈(0,1)，∴AP→＝λ(AB→＋BC→)，λ∈(0,1).A填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.41．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于()A．2aB．－2aC.25aD．－25aB填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.42．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于()A．BC→＋12BA→B．－BC→＋12BA→C．－BC→－12BA→D．BC→－12BA→解析CD→＝BD→－BC→＝12BA→－BC→.B填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.43．设a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用i，j表示向量23[(4a－3b)＋13b－14(6a－7b)]．解234a－3b＋13b－146a－7b＝23(4a－3b)＋29b－16(6a－7b)＝83a－2b＋29b－a＋76b＝83－1a＋－2＋29＋76b＝53a－1118b＝53(3i＋2j)－1118(2i－j)＝5i＋103j－119i＋1118j＝349i＋7118j.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.44．如图所示，在▱ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试以a、b表示DE→和BF→.解DE→＝DA→＋AB→＋12BC→＝－b＋a＋12b＝a－12b；BF→＝BA→＋AD→＋DF→＝－a＋b＋12a＝－12a＋b.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.41．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|表示与向量a同向的单位向量.填一填练一练研一研本课时栏目开关