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2.1.22.1.2演绎推理【学习要求】1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．【学法指导】演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论．学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点2.1.21．演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照_________________得到的过程，通常叫做演绎推理．2．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论．3．演绎推理经常使用三段论推理，三段论一般可表示：________________；所以，S是P.一定的逻辑规则正确结论必然为真M是P，S是M本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2探究点一演绎推理与三段论问题1分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，正切函数是三角函数，因此正切函数是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2问题2演绎推理有什么特点？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2问题3演绎推理的结论一定正确吗？答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2问题4演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2例1将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2小结用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2跟踪训练1把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sinx(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC是直角三角形．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y＝sinx(x∈R)是三角函数，小前提y＝sinx(x∈R)是周期函数．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2探究点二三段论的错误探究例2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常函数的导函数为0，大前提函数f(x)的导函数为0，小前提f(x)为常函数．结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提13(0.33333…)是无限不循环小数，小前提13是无理数．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2解(1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2小结演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2跟踪训练2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2解(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2探究点三三段论的应用例3如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到点D，E的距离相等．证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，小前提所以△ABD是直角三角形．结论同理，△AEB也是直角三角形．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM是直角三角形ABD斜边上的中线，小前提所以DM＝12AB.结论同理EM＝12AB.所以DM＝EM.小结应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.1.2跟踪训练3已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明三角形的中位线平行于底边，大前提点E、F分别是AB、AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提EF∥平面BCD.结论本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.21．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.2解析A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．答案A本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.22．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝是对数函数(小前提)，所以y＝是增函数(结论)．”下列说法正确的是()A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误解析y＝logax是增函数错误．故大前提错．A本课时栏目开关填一填研一研练一练x31logx31log练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.23．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②解析三段论推理中小前提是指研究的特殊情况．B本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.24．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.1.21．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.本课时栏目开关填一填研一研练一练