西安交大数理统计作业(完整版)

1第一章1.1X~N(μ,2)则X~N(,2n)，所以X－~N(0,2n)P{X-1}=P{X-n1}＝0.95X-n～N（0,1）,而(0.975)1.96所以n最小要取[21.96x2]+11.2（1）至800小时，没有一个元件失效这个事件等价于P{123456XXXXXX800}的概率由已知X服从指数分布，可求得P{123456XXXXXX800}＝7.2e（2）至3000小时，所有六个元件都失效的概率等价与P{123456XXXXXX3000}的概率可求得P{123456XXXXXX3000}=4.56(1)e1.521()niiXa＝21[()()]niiXXXa＝22111()2()()()nnniiiiiXXXaXXXa因为1()niiXX＝0所以21()niiXa＝2211()()nniiiXXXa＝221()ninSXa所以当a＝X时，21()niiXa有最小值且等于2nS1.6（1）由11niiXXn2有等式的左边＝22112nniiiiXXn等式的右边＝22221122nniiiiXXXnXnXnXn＝222221122nniiiiXnXnXnXXn＝22112nniiiiXXn左边等于右边，结论得证。（2）等式的左边＝22112nniiiiXXXnX＝221niiXnX等式的右边＝221niiXnX左边等于右边，结论得证。1.7（1）由11nniiXXn及2211()nniniSXXn有左边=1111111111()1111nnnnniiniiiiXXXXXXnnnn111()111nnnnnnXXXXXnnn=右边左边等于右边，结论得证。（2）由左边=1221111()1nniniSXXn121111[()]11ninnniXXXXnn121111[()()]11ninnniXXXXnn1221121121[()()()()]11(1)nininnnnniXXXXXXXXnnn32221121111()()()]11(1)ninnnnniXXXXXXnnn2212()1(1)nnnnSnXXnn2211[()]11nnnnSXXnn=右边左边等于右边，结论得证。1.9因为iiyaxb所以111111()nnniiiiiiyyaxbaxbaxbnnn222111111()()()nnnyiiiiiiSyyaxbaxbaxaxnnn22xaS再令179.98y，……，1479.96y再令a=1,b=80由80iiiyaxbx得：ix为：-0.02，0.04，0.02，0.04，0.03，0.03，0.04，-0.03，0.05，0.03，0.02，0.00，0.02，-0.0414110.016414iixx14142221111()(0.0164)0.00071414xiiiiSxxx0.01648080.0164yaxb2220.0007yxSaS1.10由11niiXXn2211()niiSXXn4故1111()()()()nniiiiEXEXEXEXnn211111()()()()nniiiiDXDXDXDXnnn222211111[()][(2)()nniiiiinESEXXEXXXXDXnnn（1）二项分布()EXmp()(1)DXmpp()()EXEXmp1(1)()()mppDXDXnn211()()(1)nnESDXmppnn（2）泊松分布()EX()DX()()EXEX1()()DXDXnn211()()nnESDXnn（3）均匀分布()2abEX2()()12baDX()()2abEXEX2()1()()12baDXDXnn22()11()()12bannESDXnn（4）指数分布1()EX21()DX1()()EXEX5211()()DXDXnn2211()()nnESDXnn（5）正态分布()EX2()DX()()EXEX21()()DXDXnn2211()()nnESDXnn1.11统计量有：（1），（3），（4），（5），（6），（7）顺序统计量有：（5）1.12顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21所以1317()20emXX1313.21(4)7.21rXX添加2.7后：顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，2.7，3.2，3.21所以781()0.62emXX1.16因为X服从正态分布故(0,1)XZN故由定理1.2.1知：222221111()()()nnniiiiiiXYZXn1.20已知~()Xtn，即有Y~N(0,1),2~()Zn使得/YXZn则22/YXZn而22~(1)Y所以2~(1,)XFn结论得证。61.22已知X~N(2.5,36)，222~(1)nSn，()~(0,1)nXN（1）2222555{3044}{}69nSPSP=15522925622(/2)nxnxedxn＝552925262(4/2)xxedx＝0.19294（2）2{30441.33.5}PSX=2{3044}PS{1.33.5}PX＝222555{}69nSP5(2.5)5{0.25}66XP＝0.19294*0.638=0.1231.23（1）将21()niiX和21()nmiinX各看成一个整体，可得a=21n，b=21m原式服从2(2)（2）c=mn原式服从t(m)（3）d=mn原式服从(,)Fnm1.25令11XZ，22YQ因为211(,)XN，222(,)YN所以(0,1)ZN，(0,1)QN所以12211()niiZn，22221()niiQn由定理1.2.3知：71221112212(,)niiniiZnFnnQn即：1222221112221121()(,)()niiniinXFnnnY第二章2.2（1）~()XExp,则X的概率密度为,0(;)0,0xexfxx故的似然函数为11()(),(0,1,2,,)niiinxxniiLeexin对数似然函数为1ln()lnniiLnx令1ln()0niiLxn解得11niinxx所以的极大似然估计量1X（2）~(,)XUab，X的概率密度为1,(;,)0,axbfxabba其他由于12,,,naxxxb，等价于(1)(),naxxb。作为a，b的函数的似然函数为(1)()1,,()(,)0,nnaxxbbaLab其他对于满足条件(1)(),naxxb的任意a，b有()(1)11(,)()()nnnLabbaxx即(,)Lab在(1)(),naxbx时取到最大值()(1)()nnxx故a，b的极大似然估计值为8(1)()ˆˆ,naxbx所以a，b的极大似然估计量为(1)()ˆˆ,naXbX（3）的似然函数为1111()()()nnniiiiLxx，其中12(0,,,1)nxxx对数似然函数为1ln()ln(1)(ln)niiLnx令1ln()ln0niiLnx解得1ˆlnniinx故的极大似然估计量是1ˆlnniinX（4）的似然函数是11111()()(1)![(1)!]niiiknknnxxkkiiniiLxexekk，其中，12(,,,0)nxxx对数似然函数11ln()lnln[(1)!](1)lnnniiiiLnknnkxx令1ln()0niiLnkx得1ˆniinkkxx故的极大似然估计量是ˆkX（5）a,的似然函数为9),,,(,),(21)(1)(11axxxeeeaLnnaxnaxnniaxniiniii易知，)1()()min(xxai，当)(!xa时，),(aL取最大值，所以)1(111ˆxxaxnaxnnii的极大似然估计量为)1(1ˆXxa的极大似然估计量为)1(ˆXa（6）X的分布律为mxppCxXPxmxxm,1,0,)1(}{故似然函数为niiniiiiiixmnxnixmxmxnixmppCppCpL11)1()(])1([)(11对数似然函数)1ln()(ln)(ln)(ln111pxmnpxCpLniiniixmnii令01)(ln11pxmnpxpLdpdniinii解得p的极大似然估计值mxnmxpnii1ˆ所以p的极大似然估计量mXpˆ2.3因X的概率因数为1{}(1)kPxkpp(1,2,)kP的似然函数为111()(1)(1)(1)niiinxxnniLPppppp对数似然函数1()()(1)niiLnLpnLnpnLnpx10令()0Lnpp1111011niinnxppp有1ˆpx所以p的极大似然估计为1ˆpx2.6（1）2.142.090.05R故5ˆ0.4299*0.050.214950.0215Rd（2）分为三组2.142.102.152.132.122.102.132.102.152.122.142.132.112.142.102.112.152.101230.050.050.05RRR61(0.050.050.05)0.053ˆ0.3946*0.050.0197RRd2.72E(X)=+1-/2=0.5D(X)=1/12(b-a)1/12()(1/)1/**0.50()0.5()()2()2/**0.5iEXEnXnnXEXXYEYEXEXnnX（1）所以，是的一个有偏估计量偏差是－＝－（2）取22所以，2是的一个无偏估计2.8由11212121212ˆ()()333333EEXXEXEX21232ˆ()55EEXEX1131211ˆ()22EEXEX所以，1ˆ，2ˆ，3ˆ都是的无偏估计量。又21121212145ˆ()()33999DDXXDXDX22129413ˆ()252525DDXDX2312111ˆ()442DDXDX可以看出，3ˆ()D最小。所以，估计量3ˆ最有效。2.9要使1211()niiiC