11.3 数系的扩充与复数的引入

§11.3数系的扩充与复数的引入基础知识自主学习要点梳理1.数系的扩充数系扩充的脉络是：→→，用集合符号表示为，实际上前者是后者的真子集.自然数系有理数系实数系NQR2.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，其中a,b分别是它的和.若，则a+bi为实数，若，则a+bi为虚数，若，则a+bi为纯虚数.(2)复数相等：a+bi=c+di(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数：a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R).实部虚部b=0b≠0a=0且b≠0a=c,b=da=c,b=-d(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做虚轴.实轴上的点表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示.复数集C和复平面内组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的.（5）复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作或，即|z|=|a+bi|=.x轴y轴实数纯虚数非纯虚数所有的点原点OOZ|z||a+bi|22ba3.复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;④除法：（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=，（z1+z2）+z3=.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)ii)i)((i)i)((ii21dcdcdcbadcbazz22i)()(dcadbcbdac(c+di≠0).z2+z1z1+（z2+z3）基础自测1.（2009·海安高级中学高三第四次检测）已知m∈R，复数（m2+2m-3）i，若z对应的点位于复平面的第二象限，则m的取值范围是.1)2(mmmzm-3或1m22.如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数，则实数m的值为.解析由题意知∴m=0.0,010)1(2mmm3.（2009·海南）复数=.解析i32i23i32i23i,i1i)23i(i23i3i2i23i32i232.i2i)(ii32i23i32i23i,i32i)32i(i32i2i3i32i2322i4.（2009·天津）i是虚数单位，=.解析i2i5-1+2i.i21145i10i)2i)(2(i)2i(5i2i5典型例题深度剖析【例1】当实数m为何值时，(m2+5m+6)i,(1)为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）复数z对应的点在复平面内的第二象限.找准复数的实部与虚部，利用复数的概念可求m的范围.解（1）若z为实数,362mmmz分析.2,030652mmmm解得则.32,03065,)2(2mmmmm且解得则为虚数若z.323,23323,065036,)4(.3,036065,)3(2222mmmmmmmmmmmmmmmmm或或或即则对应的点在第二象限若解得则为纯虚数若zz跟踪练习1(2010·泰州模拟)实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)对应点在x轴上方；(5)对应点在直线x+y+5=0上.解(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3时，z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3时，z为虚数.得m=-2时，z为纯虚数.,065,0152)3(22mmmm由(4)由m2-2m-150,得m-3或m5时，z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,z的对应点在直线x+y+5=0上.,44134413时或得mm【例2】已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i，求x,y.设x=a+bi，y=a-bi(a,b∈R)，根据复数相等的条件求解.解设x=a+bi(a,b∈R)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,分析,6)(344222baa根据复数相等得1111baba或解得.i1i1i1i1i1i1i1i1.1111yxyxyxyxbaba或或或故所求复数为或或跟踪练习2已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ∈R).若z1=z2,求λ的取值范围.解∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cosθ+(λ+3sinθ)i,∴λ=4-m2-3sinθ=4-4cos2θ-3sinθ=4sin2θ-3sinθ=∵-1≤sinθ≤1,当sinθ=-1时，λmax=7,,sin34,cos2,2mm得由复数相等的条件,169)83(sin42;169,83sinmin时当.7169【例3】（12分）如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：（1）所表示的复数；（2）对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数.利用复数的几何意义解题较好.解题示范BC、AOCA分析.i23,)1(所表示的复数为AOOAAO解.i23,所表示的复数为BCAOBC［4分］.i61i,61i)42(i)23(,)3(.i25i)42(i)23(,)2(点对应的复数为即表示的复数为所表示的复数为BOBOCOAABOAOBCAOCOACA跟踪练习3(2010·泰州模拟)若z∈C，且|z|=1，求|z-i|的最大值.解方法一设z=a+bi(a,b∈R)，则|z-i|=∵a2+b2=1.∴|z-i|=又∵|b|≤1，∴0≤2-2b≤4,∴当b=-1时，|z-i|=2为最大值.方法二因|z|=1，所以点Z是单位圆x2+y2=1上的点，|z-i|=表示点Z与点（0，1）之间的距离，当点Z位于（0，-1）时，|z-i|有最大值2..)1(22ba.22b22)1(yx思想方法感悟提高高考动态展望高考中常以填空题的形式进行考查复数的概念、代数运算、几何意义等，属容易题.方法规律总结1.注意复数a+bi是实数、虚数、纯虚数及两复数相等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系.数的概念扩展为复数之后，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了（如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等）.2.复数运算可类比多项式的运算来加深理解和记忆.如复数加、减运算等同于多项式合并同类项，乘法等同于多项式相乘，只是注意i2=-1，除法运算的基本思想是分母实数化（这类似于根式运算中的分母有理化），复数加、减法几何意义本质上是向量加、减运算等.3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.4.复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的思想方法.定时检测一、填空题1.（2009·山东改编）复数=.解析i1i32+ii,22i24i1ii23i)1i)(1(i)1i)(3(i1i3222.（2009·浙江改编）设z=1+i(i是虚数单位)，则=.解析∵z=1+i,=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.22zz1+i22i)1(i122zz3.（2010·菏泽阶段检测）设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z=.解析=iz,代入z-=2i，得z-iz=2i,zzz-1+izzi,1i1i2z4.（2010·无锡模拟）复数的共轭复数是.解析i1i2.2i3i1i3i)1i)(1(i)1i)(2(i1i22.2i3其共轭复数为2i35.（2010·南宁模拟）在复平面内，复数对应的点位于第象限.解析∴z对应的点在复平面的第四象限.i21z四i,51525i2i)2i)(2(i2i21z6.（2009·山东济宁一模）设x,y∈R且则x+y=.解析化简上式得即5x(1+i)-2y(1+2i)=5(1+3i)，i21i1yx,i315-6,10i)31(55i)21(2i)1(yx.6,5,1,1545,525yxyxyxyx故解之得于是7.（2010·广州模拟）在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为.解析设第四个顶点对应的坐标为（x,y）,则已知三点的坐标为（0，0），（1，2），（-2，1），由题意设正方形的对边分别对应的向量为z1，z2，则有z1=z2,即(x+2,y-1)=(1,2),∴x=-1,y=3.所以第四个顶点对应的复数为-1+3i.-1+3i8.（2009·江苏徐州模拟）定义运算若复数z符合条件则复数z=.解析由定义运算可知2·zi-z=3+2i,,bcadbadci,2312izz.5i815)1i2i)(23(1i2i23zi58519.（2009·江苏苏中六校联考）给出下列四个命题：①若z∈C,|z|2=z2，则z∈R;②若z∈C,z=-z，则z是纯虚数；③若z∈C,|z|2=zi，则z=0或z=i;④若z1，z2∈C，|z1+z2|=|z1-z2|，则|z1||z2|=0.其中真命题的个数为.解析设z=a+bi,若|z|2=a2+b2=z2=a2-b2+2abi,∴b=0，∴z∈R，①正确；若z=0，则z不是纯虚数，②错；022222abbaba则若a2+b2=-b+ai,则a=0,b=0或b=-1,∴z=0或z=-i，③错；若|z1+z2|=|z1-z2|,设z1=a+bi,z2=c+di.则（a+c）2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,整理得ac+bd=0,故此式不一定为0，④错.答案bcaddcba222221||||zz1二、解答题10.（2010·天津和平区调研）在复数范围内解方程|z|2+（i为虚数单位）.解设z=a+bi（a、b∈R），则|z|2=a2+b2，z+=2a.∴原方程同解于a2+b2+2ai=1-i，i2i3i)(zz.i15i555i)2i)(3(i2i3z.i2321i2321.23,2123,21.12,122zz或原方程的解为或解得babaaba11.（2009·淮南调研）当实数m为何值时，复数（m2-8m+15）+(m2+3m-28)i在复平面中的对应点:(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上.复数a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点.对于（1）应满足解分析.0,0;0,0baba(2)应满足,02830158)1(22mmmm由已知.37,4753mmmm或4.①,4①,7,47②②0283①0158)2(22mmmmmmmmm适合不适合或得由由已知12.（2010·广东华南师大附中调研）已知z=m+3i，其中m∈C，且为纯虚数；（1）求m对应点的轨迹；（2）求|z|的最大值、最小值.解（1）设