2测量误差与数据处理

2-1课程检测技术专业自动化章第二章测量误差与数据处理年级三年级下节计划学时教材开课时间测量的目的是获取被测量的真实量值，但由于受到种种因素的影响，测量结果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。2.1测量误差的基本概念2.1.1测量误差存在的必然性和普遍性在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。2.1.2有关量值的几个基本概念1．真值真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。2．理论真值和约定真值真值有理论真值和约定真值两种。理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180°。由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3×108m／s；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。3．实际值在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差2-2可以忽略的测量结果，称为实际值。实际值在满足规定的精确程度时用以代替被测量的真值。例如在标定测量装置时，把高精度等级的标准器所测得的量值作为实际值。4．测量值和指示值通过测量所得到的量值称为测量值。测量值一般是被测量真值的近似值。由测量装置的显示部件直接给出来的测量值，称为指示值，简称示值。5．标称值测量装置的显示部件上标注的量值称为标称值。因受制造、测量条件或环境变化的影响，标称值并不一定等于被测量的实际值，通常在给出标称值的同时，也给出它的误差范围或精度等级。2.1.3测量误差的定义测量误差，简称误差，它的定义为被测量的测量值与真值之差，即误差＝测量值－真值2.1.4误差的表示方法误差常用的表示方法有三种：绝对误差、相对误差和引用误差。1．绝对误差绝对误差△的定义为被测量的测量值x与真值L之差，即xL（2-1）绝对误差具有与被测量相同的单位。其值可为正，亦可为负。由于被测量的真值L往往无法得到，因此常用实际值A来代替真值，因此有xA（2-2）在用于校准仪表和对测量结果进行修正时，常常使用的是修正值。修正值用来对测量值进行修正。修正值C定义为CAx（2-3）修正值的值为绝对误差的负值。测量值加上修正值等于实际值，即x＋C＝A。通过修正使测量结果得到更准确的数值。采用绝对误差来表示测量误差往往不能很确切地表明测量质量的好坏。例如，温度测量的绝对误差δ=±1℃，如果用于人的体温测量，这是不允许的；但如果用于炼钢炉的钢水温度测量，就是非常理想的情况了。2．相对误差相对误差δ的定义为绝对误差△与真值L的比值，用百分数来表示，即00100L（2-4）由于实际测量中真值无法得到，因此可用实际值A或测得值x代替真值L来计算相对误差。用实际值A代替真值L来计算的相对误差称为实际相对误差，用δA来表示，即00100AA（2-5）用测得值x代替真值L来计算的相对误差称为示值相对误差，用δx来表示，2-3即00100xx（2-6）在实际应用中，因测得值与实际值相差很小，即A≈x，故δA≈δx，一般δA与δx不加以区别。采用相对误差来表示测量误差能够较确切地表明测量的精确程度。3．引用误差绝对误差和相对误差仅能表明某个测量点的误差。实际的测量装置往往可以在一个测量范围内使用，为了表明测量装置的精确程度而引入了引用误差。引用误差定义为绝对误差△与测量装置的量程B的比值，用百分数来表示，即00100B（2-7）测量装置的量程B是指测量装置测量范围上限xmax与测量范围下限xmin之差，即maxminBxx引用误差实际上是采用相对误差形式来表示测量装置所具有的测量精确程度。测量装置在测量范围内的最大引用误差，称为引用误差限γm，它等于测量装置测量范围内最大的绝对误差△max与量程B之比的绝对值，即max00100mB（2-8）测量装置应保证在规定的使用条件下其引用误差限不超过某个规定值，这个规定值称为仪表的允许误差。允许误差能够很好地表征测量装置的测量精确程度，它是测量装置最主要的质量指标之一。2.1.5测量误差的来源测量误差的来源很多。根据测量误差的来源，测量误差归纳起来有如下几个方面：1．测量环境误差任何测量都有一定环境条件，如温度、湿度、大气压、机械振动、电源波动、电磁干扰等等。测量时，由于实际的环境条件与所使用的测量装置要求的环境条件不一致，就会产生测量误差，这种测量误差就是测量环境误差。2．测量装置误差对测量中所使用的测量装置的性能指标有一定的要求。由于实际测量所使用的测量装置的性能指标达不到要求，或安装、调整、接线不符合要求，或使用不当，或因内部噪声、元器件老化等使测量装置的性能劣化等等，都会引起测量误差，这种测量误差就是测量装置误差。3．测量方法误差由于测量方法的不合理或不完善，测量所依据的理论不严密等等，也会产生2-4测量误差，这种测量误差就是测量方法误差。例如，用电压表测量电压时，由于没有正确地估计电压表的内阻而引起的误差；用近似公式、经验公式或简化的电路模型作为测量依据而引起的误差；通过测量圆的半径来计算其周长，因所用圆周率π为近似值而引起的误差，都是测量方法误差。4．测量人员误差由于测量操作人员的操作经验、知识水平、素质条件的差异，操作人员的责任感不强、操作不规范和疏忽大意等等原因，也会产生测量误差，这种测量误差就是测量人员误差。2.1.6测量误差的类型很多原因可以产生测量误差，根据研究目的的不同，通常将测量误差可按不同的角度进行分类。1．系统误差、随机误差和粗大误差根据测量误差的性质和表现形式，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差。（1）系统误差在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都保持不变的误差，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差的主要特性是规律性。（2）随机误差在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差。随机误差的主要特性是随机性。（3）粗大误差明显地偏离被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。在实际测量中，系统误差和随机误差之间不存在明显的界限，两者在一定条件下可以相互转化。对某项具体误差，在一定条件下为随机误差，而在另一条件下可为系统误差，反之亦然。2．基本误差和附加误差任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分为基本误差和附加误差。（1）基本误差测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误差，称为基本误差。（2）附加误差在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为附加误差。3．静态误差和动态误差根据被测量随时间变化的速度，可将误差分为静态误差和动态误差。（1）静态误差在测量过程中，被测量稳定不变，所产生的误差称为静态误差。（2）动态误差2-5在测量过程中，被测量随时间发生变化，所产生的误差称为动态误差。在实际的测量过程中，被测量往往是在不断地变化的。当被测量随时间的变化很缓慢时，这时所产生的误差也可认为是静态误差。2.1.7测量的精度为了定性地描述测量结果与真值的接近程度和各个测量值分布的密集程度，引入了测量的精度。测量的精度包含了准确度、精密度和精确度这三个概念。1．测量的准确度测量的准确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。准确度越高则表征测量值越接近真值。准确度反映了测量结果中系统误差的大小程度，准确度越高，则表示系统误差越小。2．测量的精密度测量的精密度表征了多次重复对同一被测量进行测量时，各个测量值分布的密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了测量结果中随机误差的大小程度，精密度越高，则表示随机误差越小。3．测量的精确度测量的精确度是准确度和精密度的综合，精确度高则表征了准确度和精密度都高。精确度反映了系统误差和随机误差对测量结果的综合影响，精确度高，则反映了测量结果中系统误差和随机误差都小。对于具体的测量，精密度高的准确度不一定高；准确度高的，精密度也不一定高；但是精确度高的，精密度和准确度都高。下面以图2-1所示的射击打靶的结果作为例子来加深对准确度、精密度和精确度的理解。在图2-1中每个点代表弹着点，相当于测量值；圆心位置代表靶心，相当于被测量真值。图（a）的弹着点分散，但比较接近靶心，相当于测量值分散性大，但比较接近被测量真值，表明随机误差大，精密度低；系统误差小，准确度高。图（b）的弹着点密集，但偏离靶心较大，相当于测量值密集，但偏离被测量真值较大，表明随机误差小，测量精密度高；系统误差大，准确度低。图（c）的弹着点密集且比较接近靶心，相当于测量值密集且比较接近被测量真值，表明系统误差和随机误差都小，精确度高。在应用准确度、精密度和精确度时，应注意：它们都是定性的概念，不能用数值作定量表示。2.2随机误差的处理2.2.1随机误差的产生和处理原则随机误差是在测量过程中，因存在许多独立的、微小的随机影响因素对测量造成干扰而引起的综合结果。这些微小的随机影响因素既有测量装置方面的因素，图2-12-6也有环境方面的因素和人员方面的因素。由于人们对这些微小的随机影响因素很难把握，一般也无法进行控制，因而对随机误差不能用简单的修正值来校正，也不能用实验的方法来消除。单个随机误差的出现具有随机性，即它的大小和符号都不可预知，但是，当重复测量次数足够多时，随机误差的出现遵循统计规律。由此可见，随机误差是随机变量，测量值也是随机变量，因此可借助概率论和数理统计的原理对随机误差进行处理，做出恰当的评价，并设法减小随机误差对测量结果的影响。2.2.2随机误差的统计特征和正态分布1．随机误差的统计特征对同一个被测量进行多次等精度的重复测量时，可得到一系列不同的测量值，通常把进行多次测量得到的一组数据称为测量列。若测量列不包含系统误差和粗大误差，则该测量列及其随机误差具有一定的统计特征。下面先看一个测量的实例。等精度测量某工件直径n＝150次，测量值范围在6.31～6.41mm。将测量值范围分成11个等间隔区间。若被测量的真值为L＝6.36mm，误差值δi＝xi－L。区间间隔Δx＝△δ＝0.01mm。测量值落在（xi±Δx／2）范围内，或误差值出现在（δi±Δδ／2）范围内的次数为ni。将测量结果统计并列成表2-1。表2-1测量实例的数据表区间号i测量值xi误差值△i出现次数ni频率fi频率密度pi16.31－0.0510.0070.726.32－0.0430.0202.036.33－0.0380.0585.846.34－0.02180.1