陶华君：极坐标与直角坐标的互化(教师版)

播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！2.2极坐标和直角坐标之间的互化授课人：陶华君一、教学目标1．知识教学点掌握极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法．2．能力训练点能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题．3．学科渗透点极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，有些一问题可用不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法．二、教材分析1．重点：极坐标与直角坐标的互化公式及三个基本前提．2．难点：极坐标的灵活应用．3．疑点：极坐标中的0，02是不是固定不变的？三、活动设计1．活动：思考、问题、议论、练习．2．教具：尺规、课件．四、学习过程（一）、课前准备阅读教材1112PP的内容，并思考下面的问题：1．若点作平移变动时，则点的位置采用哪种坐标系描述比较方便？答：对于点的平移、对称等问题，用直角坐标系解决方便．2．若点作旋转变动时，则点的位置采用哪种标系描述比较方便？答：对于点的旋转、辐射等问题，用直角坐标系解决方便．3.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提是什么？（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；（3）两种坐标系的单位长度相同.播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！（二）、新课导学：1、探究·合作·展示【探究一】如何推导出极坐标与直角坐标互化公式？【解析】：设M是平面内任意一点，它的直角坐标与极坐标分别为：),(yx和),(，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：①cossinxy；②222tan0xyyxx【说明】：1.上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式；2.通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0，02；3.互化公式要满足三个前提条件.【探究二】如何应用极坐标与直角坐标互化公式？（1）将点M的极坐标(4,)3化成直角坐标；【解析】：由互化公式得4cos2,4sin2333xy，所以，点M的直角坐标为(2,23)．（2）将点M的直角坐标(1,1)化成极坐标．【解析】：222112,2,1tan11且点M在直角坐标系中的第二象限，34，所以点M的极坐标为3(2,)4．播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！2、例题·解析·拓展【例题一】在极坐标系中，已知两点(3,)2A，(3,)6B，求A，B两点间的距离.【解析】法一(直角坐标法)：将(3,)2A，(3,)6B化为直角坐标为(0,3)A，333(,)22B，所以223332790332244AB，所以A，B两点间的距离为3.法二(极坐标法)：如图，由题意可知3,AOBO,3AOB所以AOB为正三角形，3AB，所以A，B两点间的距离为3.【拓展】在极坐标系中，已知两点11(,)A，2212(,)0,0B，求A，B两点间的距离.【解析】极坐标法：如图，在AOB中，12,AOB1,AO2,BO由余弦定理得：2222cosABAOBOAOBOAOB221111122cos,所以A，B两点间的距离为221111122cosAB.【例题二】在极坐标系中,已知两点(6,)6A，2(6,)3B.求线段AB中点的极坐标.【解析】法一(直角坐标法)：将(6,)6A，2(6,)3B化为直角坐标为(33,3)A，(3,33)B，所以线段AB的中点坐标是333333(,)22C，222333333()()1822，32，3333333152tan23tan12333333312，所以线段AB中点的极坐标是（532,12）.xBAOAOBx播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！法二(极坐标法)：如图，点C是线段AB的中点，而AOB是等腰直角三角形，6xOA，2AOB，所以54612xOC，2||||322OCOA所以线段AB中点的极坐标是（532,12）.3、检测·动手·强化【强化1】（1）把点M的极坐标)32,8(化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标)2,6(化成极坐标.【解析】（1）由互化公式得28cos43x，28sin433y，所以点M的直角坐标为(4,43).(2)222(6)(2)8，所以22，23tan36，又点P在直角坐标系中的第四象限，所以116.所以点P的极坐标为11(22,)6.【强化2】在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(PNM，判断PNM,,三点是否在一条直线上.【解析】法一(直角坐标法)：将)6,32(),0,2(),3,2(PNM化为直角坐标为(1,3),(2,0),(3,3)MNP.所以03303,32132MNPNkk，MNPNkk，所以,,MNP三点在一条直线上.法二(极坐标法)：如图，在OMN中，2,MONO,3MON所以AOB为正三角形，CxOBAONMPx播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！3OMN.又在OMP中，2,MO23,PO,362MOP所以23tan32POOMPMO，,3OMPOMPOMN，所以,,MNP三点在一条直线上.（三）、小结评价：【小结评价1】：本节课学习我们了极坐标与直角坐标的互化，具体内容有：1、三个基本前提是：；2、极坐标化直角坐标公式是：；3、直角坐标化极坐标公式是：；（直角坐标化为极坐标时，取0，02）4、在极坐标系中11(,)A，2212(,)0,0B两点间的距离是：.【小结评价2】：你有什么收获？写下你的心得及对自己、对这节课的评价：1、已经掌握的内容：；2、个人心得与质疑：；3、对自己、对这节课的评价：.五、课后作业（一）、必做作业：1．点(1,3)P，则它的极坐标是（）A．(2,)3B.4(2,)3C.(2,)3D.4(2,)32.点M的直角坐标是(1,3)，则点M的极坐标为（）A．(2,)3B.(2,)3C.2(2,)3D.(2,2),()3kkZ3．已知点的极坐标分别为A)4,3(，B)32,2(，C)2,4(，D),23(，求它们的直角坐标．4．在极坐标系中，已知两点)3,3(A，)32,1(B，求A，B两点间的距离．播下良好习惯，收获辉煌人生！快带上“信心、细心、专心”三位好朋友，开始我们的“选修4-4”之旅吧！（二）、选做作业：1．若(3,)3A，(4,)6B，则||AB，ABOS．（其中O是极点）2.已知点(2,)2A，3(2,)4B，(0,0)O，试判断ABO的形状．（等腰直角三角形）六、板书设计2.2极坐标和直角坐标的互化一：课前准备二：基本前提（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正半轴重合；（3）单位长度相同.三：互化公式①cossinxy；②222tan0xyyxx四：例题解析例1法1法2例2法1法2