10(7.8)傅里叶级数-正弦-余弦级数解析

1三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数小结思考题作业(傅氏级数Fourierseries)问题的提出第七-八节傅里叶(Fourier)级数正弦级数或余弦级数第十一章无穷级数2上一节详细研究了一种重要的函数项级数:幂级数.下面研究另一种重要的函数项级数:这种级数是由于研究周期现象的需要而产生的.它在电工、力学和许多学科中都有很重要的应用.傅里叶(Fourier,1768-1830)法国数学家和物理学家.法国科学院院士,英国皇家学会会员.傅里叶级数.傅里叶(Fourier)级数3傅里叶(Fourier)级数1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,10cos2)(nnnxAAxf1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使用了三角级数.用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角1777年,欧拉在研究天文学的时候,级数时的系数,也就是现今教科书中傅里叶级数的系数.大胆地采用了历史朔源三角级数表示函数:20cos)(21nxdxxfAn其中4微分方程是分不开的.析学的发展.形所采用的三角级数方法进行加工处理,1753年,的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分在历史上,丹贝努利首先提出将弦振动方程1822年,傅里叶在《热的解析理论》一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，特殊的情发展成一般理论.三角级数的出现和发展与求解傅里叶(Fourier)级数5一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中,周而复始的现象,周期运动是常见的.如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的往复运动,物体的振动,声、光、电的波动等.数学上,用周期函数来描述它们.最简单最基本的周期函数是)sin(tA谐函数周期2振幅时间角频率初相简谐波简谐振动正弦型函数傅里叶(Fourier)级数6如矩形波tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波,sin4t,3sin314t,5sin514t,7sin714t除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象逐个叠加分解,9sin914t傅里叶(Fourier)级数Otu117tusin4傅里叶(Fourier)级数11Otu222223238)3sin31(sin4ttu傅里叶(Fourier)级数Otu11222223239)5sin513sin31(sin4tttu傅里叶(Fourier)级数Otu112222232310)7sin715sin513sin31(sin4ttttu傅里叶(Fourier)级数Otu112222232311)9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu傅里叶(Fourier)级数Otu112222232312设想一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解为简谐振动的迭加.会给分析问题带来方便.是把一个复杂的周期函数f(t))sin(nntnA反映在数学上,的迭加,表示为各类正弦函数10)sin(nnntnAA谐波分析或再利用三角恒等式,10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA变形为即傅里叶(Fourier)级数13,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb.xt三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA0AnnAsinnnAcost函数f(t)满足什么条件,系数nnbaa,,0才能展为如何确定?为简便计,先来讨论以为周期的函数f(x),2解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性(orthogonality).10)sincos(2nnnnxbnxaa1三角级数?傅里叶(Fourier)级数14,1三角函数系二、三角函数系的正交性的正交性是指:其中任何两个不同的函数的乘积上的积分为零，],[在一个周期长的区间而任一个函数的自乘(平方)在,cosx,sinx,2cosx,2sinx,cosnx,sinnx或上的积分为],[.2为1nxcosxd1nxsinxd0即有xd122傅里叶(Fourier)级数orthogonality15xnxmxdsinsinxnxmxdcossin),2,1,(nm其中xnxdcos2xnxdsin2nm,0nm,0xnxmxdcoscosnm,0nm,傅里叶(Fourier)级数161.傅里叶系数(Fouriercoefficient)10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有.)1(0a求220axxfad)(10xad20利用三角函数系的正交性两边积分1dsindcoskkkxkxbxkxa0010)sincos(2)(kkkkxbkxaaxfxdxdxd傅里叶(Fourier)级数三、函数展开成傅里叶级数17.)2(na求xnxxfdcos)(]dcossindcoscos[1xnxkxbxnxkxakkk10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxfxnxandcos2naxnxxfandcos)(1),3,2,1(n,cosnx两边同乘逐项积分到再从xnxadcos20利用三角函数系的正交性nk00傅里叶(Fourier)级数18.)3(nb求xnxxfbndsin)(1),3,2,1(nxnxxfdsin)(]dsinsindsincos[1xnxkxbxnxkxakkknb10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx两边同乘逐项积分到再从xnxadsin20利用三角函数系的正交性0nk0傅里叶(Fourier)级数19,2)(为周期的函数是以设xf或且在],[]2,0[则xnxxfandcos)(1xnxxfbndsin)(1),2,1,0(n),2,1(nxnxxfdcos)(1xnxxfdsin)(10202,上可积希望自己证明傅里叶(Fourier)级数20),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2020),2,1(,dsin)(1),2,1,0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里叶系数10)sincos(2nnnnxbnxaa由这些系数作成的三角级数傅里叶(Fourier)级数21称为函数f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)10)sincos(2nnnnxbnxaa注f(x)的傅里叶级数不见得收敛；即使收敛，级数的和也不一定是f(x).不能无条件的下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.所以,把符号“”它的傅里叶级数收敛，记为当f(x)满足什么条件时，并收敛于f(x)本身.换为“=”.傅里叶(Fourier)级数222.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)狄利克雷(德)1805-1859定义若(),fxab在区间上只有有限个单调区间,则称(),fxab在区间上逐段单调.即,只有有限个极值点.傅里叶(Fourier)级数232.狄利克雷(Dirichlet)充分条件它在的周期函数是周期为设函数,2)(xf:],[上满足条件区间;,)1(处处连续外除有限个第一类间断点(2).逐段单调(收敛定理)傅里叶(Fourier)级数,)(都收敛一点产生的傅里叶级数在任则由xxf[,]且在上它的和函数为)()sincos(210xsnxbnxaannn24傅里叶(Fourier)级数当x是f(x)的连续点时,2)0()0(xfxf当x是f(x)的间断点时当时x)(xS傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系),(xf由定理可知:在f(x)的连续点处,都收敛到f(x)自身即使有间断点,函数也有傅氏级数,间断点上级数不收敛到函数值,只不过在而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值收敛到左端点的右极限处在端点,x术平均值和右端点的左极限的算)()sincos(210xfnxbnxaannn,2)()(ff0025(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2)周期函数的三角级数展开是唯一的,就是常说把f(x)在上展开成傅氏级数.],[(3)要注明傅氏级数的和函数与函数f(x)相等注幂级数的条件低得多;其傅里叶级数,,20a它的常数项xxfad)(10傅里叶(Fourier)级数的区域.就是函数在一个周期内的平均值;26解上满足狄利克雷条件，在区间由于],[)(xf可以将f(x)展开为傅氏级数.因为)0(f)0(f所以,收敛于的傅氏级数在点xxf)(2)0()0(ff,1)1(lim22xx,1)1(limx22.0,1,0,1)(2时当时当xxxxf其傅氏级数在处收敛于().x设函数f(x)以为周期,且2傅里叶(Fourier)级数27周期函数的傅里叶级数解题程序:并验证是否满足狄氏条件(画图目的:验证狄氏条件;由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2)求出傅氏系数;(3)写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x).傅里叶(Fourier)级数(1)画出f(x)的图形,28且为周期以函数,2)(xf,0,0,0,)(xxxxf解计算傅里叶系数xxfad)(100d1xx2例1傅里叶(Fourier)级数2323Oxy将f(x)展开为傅里叶级数.f(x)的图象29xnxxfandcos)(10dcos1xnxx)cos1(12nn02cossin1nnxnnxx,22n,0,,5,3,1n;,6,4,2n])1(1[12nnxnxxfbndsin)(10dsin1xnxx02sincos1nnxnnxxnncos.)1(1nn傅里叶(Fourier)级数30112sin)1(cos])1(1[14nnnnxnnxnxxx5cos513cos31cos2422.3sin312sin21sinxxx)(xf~傅里叶(Fourier)级数故f(x)的傅里叶级数31由于f(x)满足狄利克雷充分条件,,),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)0()0(ff收敛于).())12((xfkxx处收敛于在连续点220由收敛定理得傅里叶(Fourier)级数2323Oxy的图象)(xf和函数的图象22323Oxy32)