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《误差理论与数据处理》1《误差理论与数据处理》复习要点第一章绪论一、误差的基本概念1、误差的定义及表示方法（1）（绝对）误差=测得值-真值，结果可正可负。（2）修正值：为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值。修正值≈真值-测得值，与误差值大小相等、符号相反。（3）相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。（4）引用误差=示值误差/测量范围上限=（示值-实际值）/量程2、误差来源测量装置误差（标准量具、仪器、附件）；环境误差（温度、湿度、气压）；方法误差；人员误差。3、误差分类1）系统误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或在条件改变时，按一定规律变化的误差）；2）随机误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差）；3）粗大误差（超出在规定条件下预期的误差）。二、精度1、精度：反映测量结果与真值接近程度的量，误差小精度高。2、精度的分类：1）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示；2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；3）准确度（正确度）：反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度和准确度无关；精确度高，则精密度与准确度都高。三、有效数字与数据运算1、有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起至最末一位数字止的所有数字，都是有效数字。2、数字舍入原则：（1）舍去部分数值＞保留部分末位的半个单位，末位数加1；（2）舍去部分数值＜保留部分末位的半个单位，末位数不变；（3）舍去部分数值＝保留部分末位的半个单位，末位数凑成偶数。3、数据运算规则：（1）加减运算时，以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，结果应与小数位数最少的数据小数位相同；《误差理论与数据处理》2（2）乘除运算时，以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据多取一位数字，结果应与有效位数最少的数据小数位相同；（3）平方或开方运算，按乘除运算处理；（4）对数运算，n为有效数字的数据应用n为对数表，或用（n+1）为对数表，以免损失精度；（5）三角函数运算，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，对应关系如下。角度误差（”）1010.10.01函数值位数5678第二章误差的基本性质与处理一、随机误差1、随机误差产生的原因：测量装置方面、环境方面、人员方面。2、若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差具有以下特征：（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；（3）有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；（4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。3、算术平均值（1）𝑥̅=∑𝑙𝑖𝑛（近似认为是被测量的真值L0）。残余误差：𝑣𝑖=𝑙𝑖−𝑥̅（2）算术平均值的校核：∑𝑣𝑖=∑𝑙𝑖−𝑛𝑥̅，当求得的𝑥̅为未经凑数的准确数时，有∑𝑣𝑖=0。残余误差代数和的绝对值应符合：1）当n为偶数时，|∑𝑣𝑖|≤𝑛2𝐴；2）当n为奇数时，|∑𝑣𝑖|≤(𝑛2−0.5)𝐴。4、等精度测量的标准差：（1）单次等精度测量的标准差：σ=√∑𝛿𝑖2𝑛，𝛿𝑖=𝑙𝑖−𝐿0（测得值与真值之差）；贝塞尔公式：σ=√∑𝑣𝑖2𝑛−1评定单次测量不可靠性的参数：标准差（σ=√∑𝑣𝑖2𝑛−1）、或然误差（ρ≈23√∑𝑣𝑖2𝑛−1）、平均误差（θ≈45√∑𝑣𝑖2𝑛−1）（2）测量列算术平均值的标准差𝜎𝑥̅=𝜎√𝑛，测量次数越大，测量精度越高，n≤10较为适宜。评定算术平均值的精度标准：标准差（𝜎𝑥̅=𝜎√𝑛）、或然误差（P=23√∑𝑣𝑖2𝑛(𝑛−1)）、平均误差（T≈45√∑𝑣𝑖2𝑛(𝑛−1)）（3）标准差的其他计算方法1）别捷尔斯法：𝜎𝑥̅=1.253×∑|𝑣𝑖|𝑛√𝑛−1；2）极差法：σ=𝜔𝑛𝑑𝑛n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74《误差理论与数据处理》33）最大误差法：σ={|𝛿𝑖|𝑚𝑎𝑥𝐾𝑛，真值已知|𝑣𝑖|𝑚𝑎𝑥𝐾𝑛′，真值未知5、等精度测量的极限误差（1）单次测量的极限误差正态分布时，δ𝑙𝑖𝑚𝑥=±3𝜎，t=3，P=99.73%；一般地，δ𝑙𝑖𝑚𝑥=±𝑡𝜎，t是置信系数。t=2.58，P=99%；t=2，P=95.44%；t=1.96，P=95%。（2）算术平均值的极限误差正态分布时，δ𝑙𝑖𝑚𝑥̅=±3𝜎𝑥̅；测量列的测量次数较少时，按“学生氏”分布或t分布计算δ𝑙𝑖𝑚𝑥̅=±𝑡𝛼𝜎𝑥̅，𝑡𝛼是置信系数。自由度𝑣=𝑛−1，𝛼是显著水平，常取𝛼=0.01,0.02,0.05。解题步骤：1）求算术平均值𝑥̅；2）求残余误差：𝑣𝑖=𝑙𝑖−𝑥̅；3）求标准差𝜎、𝜎𝑥̅；4）计算极限误差δ𝑙𝑖𝑚𝑥̅6、不等精度测量（1）权：说明测量结果的可靠程度。（2）权的确定：①测量次数𝑝𝑖=𝑛𝑖；②权与其相应的标准差平方成正比𝑝1:𝑝2:…:𝑝𝑚=1𝜎𝑥̅12:1𝜎𝑥̅22:…:1𝜎𝑥̅𝑚2（3）加权算术平均值：𝑥̅=∑𝑝𝑖𝑥𝑖̅∑𝑝𝑖；当𝑝1=𝑝2=⋯=𝑝𝑚时，𝑥̅=𝑝∑𝑥𝑖̅𝑚𝑝=∑𝑥𝑖̅𝑚简化计算，𝑥̅=𝑥0+∑𝑝𝑖(𝑥𝑖̅−𝑥0)∑𝑝𝑖，𝑥0为接近𝑥𝑖̅的任选参考值。（4）单位权（5）加权算术平均值的标准差：𝜎𝑥̅=𝜎√∑𝑝𝑖=√∑𝑝𝑖𝑣𝑥𝑖̅̅̅2𝑚−1√∑𝑝𝑖=√∑𝑝𝑖𝑣𝑥𝑖̅̅̅2(𝑚−1)∑𝑝𝑖7、随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、χ2分布、t分布、F分布。二、系统误差1、系统误差产生的原因：测量装置方面的因素、环境方面的因素、测量方法的因素、测量人员方面的因素。2、系统误差的特征：在同一条件下，多次测量统一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或是在条件改变时，误差按照一定规律变化。系统误差的统计规律：1）在多次重复测量同一测量值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差；2）系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。系统误差的分类：不变的系统误差、线性变化的系统误差、周期性变化的系统误差、复杂规律变化的系统误差。3、系统误差的发现方法：（1）实验对比法：是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于不变的系统误差；（2）残余误差观察法：1）若残余误差大体上是正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑是存在系统误差；2）若残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在误差；《误差理论与数据处理》43）若残余误差符号有规律地逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差。（3）残余误差校核法：1）用于发现线性系统误差将测量列中前k个残余误差相加，后（n-k）个残余误差相加（当n为偶数，取k=n/2；n为奇数，k=n+1/2）两者相减，若差值∆显著不为0，则有理由认为测量列存在线性系统误差（马利科夫准则）；若∆=0，可能存在系统误差。2）用于发现周期性系统误差若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为v1，v2，…，vn，（阿卑-赫梅特准则）令u=|∑𝑣𝑖𝑣𝑖+1|=|𝑣1𝑣2+𝑣2𝑣3+⋯+𝑣𝑛−1𝑣𝑛|，若u√𝑛−1𝜎2，则认为测量列中含有周期性系统误差。（4）不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同公式计算标准差：1）按贝塞尔公式𝜎1=√∑𝑣𝑖2𝑛−1；2）按别捷尔斯公式𝜎2=1.253×∑|𝑣𝑖|√𝑛(𝑛−1)。令𝜎2𝜎1=1+𝑢，若|𝑢|≥2√𝑛−1，则怀疑存在系统误差。（5）计算数据比较法对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。任意两组结果𝑥𝑖̅和𝑥𝑗̅之间不存在系统误差的标志是：|𝑥𝑖̅−𝑥𝑗̅|2√𝜎𝑖2+𝜎𝑗2（6）秩和检验法将独立测得的两组数据，混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序（即秩），再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。1）当n1、n2≤10时，若T−𝑇𝑇+，则无根据怀疑存在系统误差。2）当n1、n2＞10时，T~N（𝑛1(𝑛1+𝑛2+1)2,√𝑛1𝑛2(𝑛1+𝑛2+1)12），t=(T-a)/σ，选取概率ϕ(t)，查正态分布积分表的t，若|t|≤t𝛼，则无根据怀疑存在系统误差。（7）t检验法独立测得的两组数据xi，i=1,2，…，nx；yi，i=1,2，…，ny令t=(x̅−y̅)√𝑛𝑥𝑛𝑦(𝑛𝑥+𝑛𝑦−2)(𝑛𝑥+𝑛𝑦)[(𝑛𝑥−1)𝜎𝑥2+(𝑛𝑦−1)𝜎𝑦2]，服从自由度为𝑛𝑥+𝑛𝑦−2的t分布变量，式中x̅=1𝑛𝑥∑𝑥𝑖，y̅=1𝑛𝑦∑𝑦𝑗，𝜎𝑥2=1𝑛𝑥−1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2，𝜎𝑦2=1𝑛𝑦−1∑(𝑦𝑗−𝑦̅)2取显著度α，由t分布表查P(|t|t𝛼)=α中的t𝛼，若算出|t|t𝛼，则无根据怀疑两组间有系统误差。4、系统误差的减小和消除①从产生误差根源上消除系统误差；②用修正法消除系统误差；③不变系统误差消除法：代替法、抵消法、变换法；《误差理论与数据处理》5④线性系统误差消除法——对称法；⑤周期性系统误差消除法——半周期法。三、粗大误差1、粗大误差产生原因：（1）测量人员的主观原因：操作不当、测量时不小心、不仔细；（2）客观外界条件的原因：测量条件意外改变（如机械冲击、外界振动）2、粗大误差的防止与消除：加强测量者的工作责任心；保证测量条件的稳定。3、判别粗大误差的准则𝟑𝛔准则适用于测量次数较多的测量列；格罗布斯准则的可靠度最高，适用于测量次数为n=20~100时；测量次数很小时，可采用罗曼若夫斯基准则；狄克松准则可快速从测量列中判别出是否含有粗大误差。（1）𝟑𝛔准则（莱以特准则）以测量次数充分大为前提，若发现有大于3σ的残余误差的测量值，即|v𝑖|3σ，则可认为它含有粗大误差，应予以剔除。（2）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差，较为合理。首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若|x𝑗−x̅|kσ,则认为x𝑗含有粗大误差，剔除x𝑗是正确的；x̅、σ为剔除x𝑗后的测量值的平均值和标准差，k是t分布的检验系数k(n,α)，n是测量次数。（3）格罗布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，得𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛当x𝑖服从正态分布时，x̅=1𝑛∑𝑥，v𝑖=x𝑖−𝑥̅，σ=√∑𝑣2𝑛−1，将x𝑖按大小顺序排列成顺序统计量x(𝑖)，而x(1)≤x(2)≤⋯≤x(𝑛)若认为x(1)可疑，则有g(1)=𝑥̅−x(1)𝜎；若认为x(𝑛)可疑，则有g(𝑛)=x(𝑛)−𝑥̅𝜎。当g(i)≥g0(n,α)，即判别该测量值含有粗大误差，并予以剔除。（4）狄克松准则（无需求出标准差𝛔）x(𝑖)是𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛的顺序统计量，当x(𝑖)服从正态分布时，得到x(𝑛)的统计量n≤7，r10=𝑥(𝑛)−𝑥(𝑛−1)𝑥(𝑛)−𝑥(1)8≤n≤10，r11=𝑥(𝑛)−𝑥(𝑛−1)�