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1【例1】如图，四边形ABCD有4个直角三角形拼凑而成，它们的公共顶点为O，已知△AOB、△BOC、△COD的面积分别为20、10、16，求△AOD的面积。（1992年北京市“迎春杯”竞赛题）【注释】求三角形的面积，通常需要求出底和高，当这两个值不易求出时，常把它们的积作为一个整体，设法求出它们的积。【例2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。（1999年重庆市竞赛题）【注释】求凹多边形的内角和，常利用四边形和三角形的内角和进行计算，有事需要添加辅助线，将其转化为求一个凸多边形的和或一个凸多边形和一个三角形的内角和，如本题连接BF、CE，则所求的值等于四边形ABFG的内角和加上△DCE的内角和。【例3】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求CDBC的值。（1993年“祖冲之杯”邀请赛试题）【注释】有些几何题，按原有的图形很难求解，可根据图形的特点，将原图形补成特殊图形，利用特殊图形的性质进行求解。【例4】（1）是否存在这样的四边形，它的4条边依次是1、2、4、7？（2）是否存在这样的四边形，它的一组对角是直角，其中一个直角的两条边分别为3、4，另一个直角的边为6？2【注释】探索存在型问题是指在一定条件下，判断是否存在某个结论。解答这类问题，先假设结论存在，从假设出发，根据题设条件及有关性质进行推理论证，若推出矛盾，则不定假设，若推出合理的结果，则说明假设正确。这种方法叫“假设法”。【例5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长。【注释】对于四边形，作对角线是常用的辅助线。【例6】如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，△DOC的面积S1=4，△AOB的面积S2=64，求四边形ABCD的面积的最小值。（第十一届“希望杯”邀请赛培训题）【注释】本题求最值的方法称为配方法，即欲求一个量的最大值或最小值，可先用一个量或两个量表示这个量，然后对列出的代数式进行配方，从而确定最大值或最小值。【针对训练】【1】如图，A、B、C在一条直线上，FA⊥AC，FG⊥BE，DE⊥BE，DC⊥BC，且∠F=60°，求∠EBC与∠D的度数。【2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。（1994年“祖冲之杯”邀请赛试题）【3】是否存在这样的四边形，它的一组对角分别为60°、120°，且60°角的两边均为5，120°角3的一边为6？【4】如图，在四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB于E。若四边形ABCD的面积为8，求DE的长。（1996年四川省竞赛题）【5】在四边形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=7，求AD的取值范围。【6】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC=135°，AE=21（AD+AB），BC=2。求BE的长。【例1】已知：四边形ABCD，从（1）AB∥DC；（2）AB=DC；（3）AD∥BC；（4）AD=BC；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合。（1998年江苏省竞赛题）【注释】解四边形问题，常需要判定其形状，要熟记判定定理；由于判定定理比较多，易混易忘，可从边、角、对角线3个方面加以记忆。【例2】凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD。求证：ABCD是平行四边形。（1990年芜湖市竞赛题）4【例3】平面上有三个正△ABD、△ACE、△BCF，两两共有一个顶点。求证：CD与EF互相平分。（1990年芜湖市竞赛题）【例4】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE。求证：FK∥AB。（大连市第八届“育英杯”竞赛题）【注释】对于求证线段相等，角相等，线段互相平行，两线平行，两线垂直等问题，常先判定出某个四边形是平行四边形或特殊的平行四边形，再根据其性质进行证明。这种证明方法往往优于用三角形的性质证明的方法。【例5】如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E、F怎样移动，△BEF总是正三角形。（1990年合肥市竞赛题）【注释】对于平行四边形问题，常将其转化为三角形问题解决。解题时要注意利用平行四边形的性质，这些性质往往为解题提供必要的条件。【例6】矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm。若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。（1998年北京市竞赛题）【例7】设P为直角等腰三角形ABC斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC。求证：BC⊥BD且BC=BD。5【例8】如图，△ABC是正三角形，△A1B1C1的三条边A1B1、B1C1、C1A1交△ABC各边分别于C2、C3，A2、A3，B2、B3。已知A2C3=C2B3=B2C3，且C2C32+B2B32=A2A32。请证明：A1B1⊥C1A1。（2002年北京市数学竞赛复赛题）【针对训练】【1】下面有4个命题：①一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确命题的个数是（）（1988年全国联赛试题）A、1B、2C、3D、4【2】菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中共有全等三角形（）A、4对B、6对C、8对D、12对【3】如图，AB∥CD∥EF，AD∥BC，AC平分∠BAD且与EF相交于O，那么图中与∠AOE相等的角（不包括∠AOE）总共有（）（1996年荆沙市竞赛题）A、6个B、4个C、3个D、5个【4】四边形的4条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形一定是（）（1995年“希望杯”邀请赛试题）A、两组对角分别相等的四边形B、平行四边形C、对角线互相垂直的四边形D、对角线长相等的四边形【5】如图，在□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是。（1998年“希望杯”邀请赛试题）【6】矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8，将纸片折叠使得A与C重合，则折痕EF的长为。（1995年河6北省竞赛题）【7】如图，P为□ABCD内一点，过P点分别作AB、AD的平行线，交□ABCD于E、F、G、H四点，若SAHPE=3，SPFCG=5，则S△PBD=。（1998年北京市竞赛题）【8】如图，P为矩形外一点，PC=3，PB=4，PA=5，则PD=。（1998年河北省竞赛题）【9】如图，有一湖的湖岸在AB之间呈一段圆形劣弧，AB之间的直线距离不能直接测得；为了得到AB之间的距离，请你用测角仪和量尺，在岸边设计出三种不同类型的测量方案（分别画出图形），并求出AB间的距离（经测量得到的线段的长的数据用a或b或c等表示，角度用α或β等表示）。（1999年河北省竞赛题）【10】如图，在□ABCD中，以AC为边长在两侧各作一个正△ACP、△ACQ。试证BPDQ为平行四边形。【11】如图，矩形ABCD、BFDE中，AB=BF。求证：CF⊥MN。7【12】在□ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于E。求证：∠DME=3∠MEA。【13】P为四边形ABCD的两边AD、BC的延长线的交点，过P作线段EF，使PE=PF。求证：不论EF的长度与位置如何变化，线段AE、BF的中点连线恒经过某一定点。【14】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。求证：∠BAC=100°。（2001年北京市数学竞赛试题）第三节梯形的判定和中位线定理【知识点拨】1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。2、等腰梯形的性质与判定性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等。判定定理：在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。3、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半。对于梯形的问题，往往是通过作辅助线，将梯形问题转化成三角形或平行四边形问题来解决。常用的辅助线如下：8【赛题精选】【例1】已知E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，AD⊥BC于D。求证：四边形EFDG是等腰梯形。【说明】一组对边平行的四边形可能是梯形，还可能是平行四边形！因此，要证明一个四边形是梯形，必须证这个四边形的另一组对边不平行，证明一组对边不平行的方法有：（1）证明四边形的一组对边平行且不相等，则这个四边形不是平行四边形，因而另一组对边不平行；（2）利用经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，而经过这点的其它直线与这条直线不平行进行证明。【例2】已知一个梯形的四条边的长分别是1、2、3、4，求此梯形的面积。（2000年全国联赛试题）【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于E，BD=BC。求证：2CE=AD+BC。【说明】以上介绍的几种辅助线要知道，还应通过做题总结出何时作何种辅助线。如本题在结论中有两底的和或题设中有关于对角线的条件，辅助线常作对角线的平行线。【例4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分别是AB、BC、CD、AD的中点，已知BC=7，MN=3，求EF的值。（1997年全国联赛试题）【说明】对于涉及梯形的两底角互余问题，常将其转化为直角三角形问题。本题有辅助线还可过点N分别作AB、AC的平行线，证MN=21（BC-AD）即可。【例5】在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。（1）求证：△PQS是等边三角形。（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积。9（3）若△PQS的面积与△AOD的面积比是7：8，求梯形上下底的比CD：AB=？（1999年“希望杯”邀请赛试题）【例6】分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE、CBFG，点P是EF的中点。求证点P到边AB的距离是AB的一半。（1996年山东省竞赛题）【说明】本题构造梯形及梯形中位线，并通过线段的代换，使问题获得解决！【例7】已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它的和为16。（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形连长的平方和的最小值。（2000年全国初中联赛题）【针对训练】【1】以线段a=16，b=13，c=10，d=6为边，且使a∥c作四边形，这样的四边形（）（1984年全国联赛试题）A、能作一个B、能做两个C、能作三个D、能作无数多个E、不能做【2】在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，△DEC的面积为S，则ABCD的面积是（）（1997年重庆市竞赛题）A、25SB、2SC、47SD、49S【3】梯形的两条对角线分别为15和20，高为12，则上、下底之和是（）A、25B、16C、9D、12.5【4】如图，四边形你ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于（）（1996年“希望杯”邀请赛试题）A、1cmB、1.5cmC、2cmD、2.5cm【5】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，AB=10，CD=4，延长BD到E，使DE=BD，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF=。（1998年山东省竞赛题）10【6】在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8，BC=26，∠BCD=4