数列创新题型突破

数列创新题型突破-------五、数阵和数表所谓数表就是指满足一定的生成规则并按一定的顺序排列成的一个表，数表问题常与数列知识联手，在高考中奏出一曲曲优美的“乐章”，逐渐成为高考命题的热门，本文试就数表问题考查的几种常见类型及变化趋势作一阐述，以馈读者。一、三角形数表例1（2008年江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数表：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．【评析】：通过列举、分析、归纳、猜想，前n-1行共有1+2+3+…+n-1个数，即共有22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn+3个数，即262nn例2（2008年山东卷19）将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10．．．．．．．记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足22nnnnSSbb＝1（n≥2）.（Ⅰ）证明数列｛nS1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91481a时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.（Ⅰ）证明略，2,)1(21,1nnnnbn（Ⅱ）析：本题关键在于确定81a在表中的位置，再由通项公式求出q,然后求和，设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.因为1213121278,2所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，故a81表中第13行第三列，因此28113491abq,又132,1314b所以q=2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)1(1)12(1)kkkkbqSqkkkk（k≥3）.点拨：研究数表问题，首先要明确数表的构成元素,数表是由什么样的数列或哪些元素构成，即先要寻找数列的递推关系或元素的规律。二、方形数表例3（2004年北京春季高考题改编）下表给出一个“等差数表”：47（）（）（）…a1j…712（）（）（）…a2j…（）（）（）（）（）…a3j…（）（）（）（）（）…a4j…………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.（1）写出45a的值；（2）写出aij的计算公式；（3）写出2008这个数在等差数表中所在的一个位置。【评析】：本题主要考查等差数列的基础知识，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力。由每行和每列均成等差数列和表格中前两行两列的4个数，可求出第一行和第二行所有的数，再由第5列的前两个数求得第4个数，即45a。解：（1）（略解）45a=49（2）该等差数表的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j=7+5(j-1)，…第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j（3）要找2008在该等差数表中的位置，也就是要找正整数i,j使得2ij+i+j=2008，所以122008iij，当i=1时，得j=669所以，2008在等差数表中的一个位置是第1行第669列。点拨：对于数表形等差、等比数列的综合问题，行、列关系较为复杂，在解题时一定要多找等量关系，少设变量,尽可能把已知元素的值化归到同行或者同列。三、回形数表例4（2008江苏高考零距离突破二轮复习题）将自然数排成如下的螺旋状第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数分别是，【评析】：由图可知，前n个拐弯处的数依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，…，①这是一个数列题目，要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规则，经观察，该数列的后一项减去一项，得一新数列1，2，2，3，3，4，4，5，5，……②，把数列①的第一项添在数列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，……③，观察数列①，③发现原数列①的第n项na就等于数列③的前n项和,即21a，3122a，722123a，…,故第20个拐弯处的数a20=2+1+2+2+…+10+10=1+2（1+2+…+10）=111a25=2+1+2+2+…+12+12+13=170解法2：设第i个拐弯处的数为ai，显然a1=2，a2i=a2i-1+I,a2i+1=a2i+(i+1)∵20=2×1025=2×12+1∴a20=1+2(1+2+…+10)=11a25=1+2(1+2+…+12)+13=170解法1到解法2由具体到抽象，体现出思维不断优化的过程。点拨：解决数表问题，需细心研究其元素的排列的规律，即构成数列的元素，或数列的项是按照何种规则排列而成的，有时即使找到排列的规则，但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行整理再加工，解题同样会误入歧途。四、数表与排列组合的有机结合例5、（2005年上海春季高考）用n个不同的实数naaa,,,21可得到n！个不同的排列，每个排列为一行，写成一个n！行的数表，对第i行iniiaaa,,,21，记inniiiinaaaab)1(32321（!,,2,1ni）例如1，2，3可得数表如图123213132312231321，由于此数表中每一列数之和均为12，所以2412312212621bbb。那么在用1，2，3，4，5形成的数表中，12021bbb【评析】：此题题目新颖有趣，思维要求较高，它给出计算数表中各数的某种组合的新思路，同时又具备高等数学的背景，渗透高等数学背景是高考命题的一大趋势，值得引起重视。解：在用1，2，3，4，5所形成的数表中，起始数字为1的共有A44行，类似，起始数字为2，3，4，5的行都有A44个，于是数表中各数之和为(1+2+3+4+5)A44=360.∴3605360436033602360)1(12021bbb=360)54321(=1080总之，适应新课程的需要，高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的问题，数表作为近年来数学命题的一个新亮点，为在今后高考中再次出现增添了无限的魅力空间。数列创新题型突破-------六、数列应用题数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为0a，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为na，则我们所要回答的问题就是：（Ⅰ）是否存在自然数n，使得na80%？（Ⅱ）求使得na60%成立的最小的自然数n.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列na的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：0330%10a，254541%16%411nnnnaaaa所以，当1n时，254541nnaa，两式作差得：1154nnnnaaaa又100004441152525510aaaaa，所以，数列1nnaa是以10110aa为首项，以54为公比的等比数列．所以，112100nnnnnaaaaaaaa14(1())3414105()41052515nnxy3x-y=1304x+6y=320M由上式可知：对于任意Nn，均有54na．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．（Ⅱ）令53na，得42()55n，由指数函数的性质可知：4()5ngn随n的增大而单调递减，因此，我们只需从0n开始验证，直到找到第一个使得42()55n的自然数n即为所求．验证可知：当0,1,2,3,4n时，均有42()55n，而当5n时，42()0.3276855n，由指数函数的单调性可知：当5n时，均有42()55n．所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n的值．2.某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解:引入字母,构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为4801，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…,a25小时，依题意它们组成公差31d（小时）的等差数列，且48025)(21,1480480480,2425125211aaaaaa即则有，化简可得5192821a.解得245123,51231由于a.可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.3.某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解:想想看,需要引入哪些字母?怎样建构数学模型?设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为25.2mnA，征地费用为nA5970元，楼层建筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]AnnnA)4003015(元，从而AAnnAnAnAnAy1000)400600015(40030155970（元）当且仅当nn600015,n=20（层）时，总费用y最少.故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时,最少总费用为1000A元.5．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两