复变函数与积分变换第二章习题解答

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习题二解答1.利用导数定义推出:1.)(z)'=nz''飞(n是正整数);气)=-7·(z+位)-zi正1)(z)'=lim=lim(nz-1+C,忨11-2凶+位-')=nz-'&斗0�zt,z咄1I2)(.!.)'=lim�=-lim1=-�Z6.z�O�z泣斗0z(z+�z)z2.下列函数何处可导?何处解析?(I)f(z)=x2一iy(2)f(z)=2x3+3沪(3)J{z)=xy2+ix2y(4)八)'z=smxchy+1cosxshy解(I)由干auauavav—=2x,—=0,—=0,—=-1ax函axayl在z平面上处处连续,且当且仅当x=-一时,u,v才满足C-R条件,故八z)=u+iv=x-iy仅在2]直线x=--上可导,在z平面上处处不解析。2(2)由于OU=6x2,OUav=0,=0,av————=9l初伪ox伪在z平面上处处连续,且当且仅当2x2=3y2,即Fix土.J3y=O时,u,v才满足C-R条件,故f(Z)=U+iV=2x3+3y\仅在直线Fix土./3y=0上可导,在z平面上处处不解析。(3)由于OU'OUavav—=y-,—=2灯,—=2,cy'—淑句,6入句=X2在z平面上处处连续,且当且仅当z=O时,u,v才满足C-R条件,故八z)=xl+ix2y仅在点z=O处可导,在z平面处处不解析。OUOUovov(4)由千—-=cosxchy,—-=sinxshy,—=-sinxshy,—=cosxchy祁句ox句在z平面上处处连续,且在整个复平面u,v才满足C-R条件,故f(z)=sinxchy+icosxshy在z平面处处可导,在z平面处处不解析。3.指出下列函数f(z)的解析性区域,井求出其导数。I)(z-1)5;(2)z3+2iz;3)I.az+bz2-I(4)(c,d中至少有一个不为0)cz+d解(1)由千f'(z)=S(z-1)4,故几)在z平面上处处解析。(2)由于f'(z)=3z2+2i,知八z)在z平面上处处解析。(3)由千八-2z.z)='=-2z(之2-If(z-1)2(z+1)2知氏)在除去点z=土l外的z平面上处处可导。处处解析,z=土I是J(z)的奇点。(4)由于f'(z)=ad-be,知f(z)在除去z=-dIc(c*0外在复平面上处处解析。(cz+d)25.复变函数的可导性与解析性有什么不同?判断函数的解析性有那些方法?答:f(z)在DC区域)内解析f(z)在D内可导f(z)在z。解析f伈)在z。可导f(z)在z。连续判定函数解析主要有两种方法:l)利用解析的定义:要判断一个复变函数在z。是否解析,只要判定它在z。及其邻域内是否可导;要判断该函数在区域D内是否解析,只要判定它在D内是否可导;2)利用解析的充要条件,即本章§2中的定理二。6.判断下述命题的真假,并举例说明。(1)如果几)在z。点连续,那么f'(动存在。(2)如果/(动存在,那么氏)在z。点解析.(3)如果z。是八z)的奇点,那么八z)在z。不可导。(4)女日身皂z。丹邑J(z)禾日g(z)白勺一介、舌于片�.月!么�z。廿3员�f(z)+g(z)禾llf(z)lg(z)廿勺舌}片R。(5)如果u(x,y)和v(x,y)可导(指偏导数存在),那么f(z)=u+iv亦可导。(6)设f(z)=u+iv在区域内是解析的。如果u是实常数,那么f(z)在整个D内是常数;如果v是实常数,那么f位)在整个D内是常数;解())命题假。如函数八z)=I寸=x2+y2在z平面上处处连续,除了点z=O外处处不可导。(2)命题假,如函数八z)叫订在点z=O处可导,却在点z=O处不解析。(3)命题假,如果j、(z)在z。点不解析,则z。称为八z)的奇点。如上例。(4)命题假,如f(z)=sinxchy,g(z)=icosxshy,z=(,r/2,0)为它们的奇点,但不是J位)+g(z)的奇点。(5)命题假。如函数J切=zRez=x2+ixy仅在点z动处满足C-R条件,故j、(z)仅在点z=O处可导。(6)命题真。由u是实常数,根据C-R方程知v也是实常数,故J位)在整个D内是常数;后面同理可得。7.如果氏)=u+iv是z的解析函数,证明:侵I儿)1J+侵l几)Is=lf'(z)l2证IJ(z)仁心言了,千是2OU加0u—+v—OXoxox—IJ(z)I=心'由于几)=u+iv为解析函数,故au加u—+v——I儿)I=函ay伪心言了ou加OUav—=—,—=-—,加伪伪亟从而(卢I儿)1J+(¾IJ(z)IJ=i/:v2[u2甘订+u2(-恳J+v2(詈r+v2(烹r+2uv�怠+2uv(-皂]詈]�,,,:v,j.'[(�]'+(怠)},'[(詈)'+(尽r])=ii2�/+v2)1氏)归f(z)广u+v9.证明:柯西-黎曼方程的极坐标形式是加1彻8v18u—=-—,—=--—arr80orr80证令x=rcos0,y=rsin0,利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件,得初OUOU—=—cos0+—sin0oroxo_yovov颉ax—=—(-rsin0)+竺rcos0=竺rsin0+竺,,cos0=r竺fJy句oxor即彻l加—=-—。又orro0竺=织勺sin0)+竺rcos0筋函句,ovov彻OUOU—=—cos0+—sin0=-—cos0+—sin0a,-ax8y函放=-.!.(竺,·cos0立,sin0)=_.!_竺r彻放,.00总之,有ouI加ovIau-=--orraeorro010.证明:如果函数八z)=u+iv在区域D内解析,井满足下列条件之一,那么J(z)是常数已(])几)恒取实值。(2)冗3在D内解析。(3)I儿)I在D内是一个常数。(4)argf(z)在D内是一个常数。(5)au+bv=c,其中a、b与c为不全为零的实常数。3解(1)若八z)恒取实值,则v=O,又根据八z)在区域D内解析,知C-R条件成立,千是auavauav—=—=0,—=-—=0毋句函ox故u在区域D内为一常数,记u=C(实常数),则J(z)=u+iv=C为一常数。(2)若m.Z=U+LV=Lt-iv在区域D内解析,则竺=a仁v)=-空,怓句句又J(z)=u+iv在区域D内解析,则加8(-v)ou=-=函oxox(1)OU加OU彻—=—,—=-—放句伪改结合(I)、(2)两式,有如auav加—=—=—=—=0,放函改vy故u,v在D内均为常数,分别记之为u1=C.,u2=Ci{C.,C2为实常数),则f切=u+iv=C1+i乌=C(2)为一复常数。(3)若IJ(z)I在D内为一常数,记为c.,则u2+v2=c.2'两边分别对干x和y求偏导,得由千f(z)在D内解析,得写可又式上入戈,1空OXoo-==__皇加一句ou-句VV'1一句2I2++0ou-OXOU-岔(OU-oy=uu件22夕-<一一、条Rc足满数常为均vOO,==uOU-负OU-句故vuoI+=(OU-加OU-axoV-vyUV__.-V-、竺OX得解可解得加彻—=—=0。同理,ax函f(z)=u+iv=C,+iC2=C为一复常数。(4)若argz在D内是一个常数C尸分别记为u=C1,v=C2,则则八z)-:tO,从而J切=u+iv丑0'且arg氏)=Varctan-,"Varctan-+冗,uuOU0,V0Varctan--冗,U0,V0u=F;冗O,»oc,一冗u0,vO总之对argf(z)分别关于x和y求偏导,得ul4。=ou-ax2VV-+X2-6uv=、.)au-axV2、:_jv-ur-\+空oxIur-\I-2U牛竺-v竺)u空-v竺U一伪函ayoy1+(;;)'=u'.,,=0化简上式井利用八z)解析,其实、虚部满足C-R条件,得J-:t:t=OO同理也可求得竺=空=0'即u和v均为实常数,分别记为c2和C3,从而a飞咑解得OUOU—=—=0'oxiJyJ(z)=u+iv=C2订C3=C为一复常数。(5)若au+bv=c,其中a、b和c为不全为零的实常数,这里a和b不全为0,即矿+b2'*0'否则此时a、b和c全为零。对方程au+bv=c分别对千x和y求偏导,得言I::再利用解析函数八z)=u+iv的实、虚部u和v满足C-R条件,得j:目:加如avav解得—=—=0'同理也可求得—=—=0,知函数八z)为一常数。ox伪,ax匈11.下列关系是否正确?(I)e=e';(2)cosz=cos乞;(3)sinz=sinz解(1)e芝=e'(cosy+isiny)=e'(cosy-isiny)=e·'一;.,.=e乞(2)�=[矿+e一i:l=_!_(e三产)=丿(e一;,+e;')=cos乞。222(3)二=上(矿-e一叶=1=(e石一产)=上(e-iz_n2i2i-2ie)I=—(e戊-e-叶=sinz。2i12.找出下列方程的全部解。(3)l+e之=0;C4)sinz+cosz=0;解(3)原方程等价干ez=-1,千是它的解为:5z=Ln(-1)=ln1-11+i[arg(-1)+2k1!]=i冗(1+2人)k=0,土I,土2,···(4)由千sinz=-cosz,eiz-e-i:12i=--(扩+e-i'),故2沪-1=-i(沪+1)2i己I一1e=l+i已Ln尸尸Ln{-i)=上[In1-iI+i{arg(-i)+2k叶]2il+i2i2i=t(-%+2k冗)=(k-¾)冗,k=O,土1,士2,···13.证明:(J)cos(z,+zi)=cosz,cosz2-sinz1sinz2;sin亿+z2)=sinz,cosz2-cosz,sinz2;(2)sin2z+cos2z=l;(3)sin2z=2sinzcosz;(4)2tanz.tan2z=2l-tanz(5)sin(f-z)=cosz,cos(z+1!)=-cosz;(6)lcoszl2=cos2x+sh2y,lsinzl2=sin2x+sh2y证(1)左=cos(z1+动=_!_k伈+,2)+e-i伈+2)]2右=cosZ1cosz2-sinZ1sin乌沁+e-i:1ei:,+e-i:2eiz,-e-iz1ei:2-e一IC2=-222i2iei(c,于:2)+e;(勺-:2)+e一,{c1-z2)+e一;(,,+:2)+ei(:,十:2)_ei(:,-:2)_e-;{,,-,2)+e一i(:,+:2)4i(平习如心)e+e2可见左=右,即cos亿+Z2)=coszcosz-smzsmz·I2I2'左(I=smz1+z2)=—k(:.,+:.2)-e-i(平,,)2i]右.=smz,cosz2+cosz1smz2=ik'•-矿;,,)½(ei,2-e-i:.2)+甘i''+e一;,,)ik'2-e-i,2)=上k如z2)+e心,女)-e-i如心-e-如:2)十上ei(:,+:2)-ei(:广:2l+e一心-;2)_e一心、叶4i][4i=上[2e心+:2)-2e一i(:,叫=_!_k(z,+:2)-e一心+:2)]4i2i可见左=右,即sin亿+Z2)=sinZ1cosZ2+cosZ1sinZ2(2)sin2z+cos2z=[e;z;t一itJ+[e;z�t一it『6=-扣iz_2+e-2飞尸(沪+2+e-2iz=I44)(3)左=sin2z=上(ei2t-e一i2t2i)右=2sinzcosz=2上(e;-e-i:)丿(店+e-尺212)=上(庐+l-J-e-i叶=上(ei2z-e一心2i2i)可见左=右,即sin2z=2coszsinzo(4)tan2z=sin2z=2sinzcosz=2二/[1-(三]=2tanzcos2zcos2z-sin2zcoszcosz1-tan2z(5)由(1)知sin(%-z)=sin[%+(-z)]=sin%cos仁z)+cos%sin仁z)I=cos{-z)=-k丘)+e一,巨))=_!_k:+e士22)=cosz由())得()cosz+兀=coszcos冗一smzsm兀=-cosz(6)左=Icosz12=1co

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