三角函数练习题(附详细解答过程)

高一年级数学试卷第1页（共13页）三角函数1．已知21)4tan(，（1）求tan的值；（2）求2cos1cos2sin2a的值。2．求证：xxxxxxtan1tan1sincoscossin21223．已知1cottansin2),2,4(,41)24sin()24sin(2求的值.4．设m为实数，且点0tan，A，0tan，B是二次函数2322mxmmxxf图像上的点.(1)确定m的取值范围(2)求函数tany的最小值．5．已知21)4tan(，（1）求tan的值；（2）求222cos1cossin的值．高一年级数学试卷第2页（共13页）6．设函数)()(cbaxf，其中a＝(sinx,－cosx)，b＝(sinx,－3cosx)，c＝(－cosx,sinx)，x∈R；(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)将函数y＝f(x)的图象按向量d平移，使平移后的图象关于坐标原点成中心对称，求|d|最小的d．7．在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．8．设f(x)＝cos2x＋23sinxcosx的最大值为M，最小正周期为T．⑴求M、T．⑵若有10个互不相等的函数xi满足f(xi)＝M，且0xi10π，求x1＋x2＋…＋x10的值．9．已知f(x)＝2sin(x＋2)cos(x＋2)＋23cos2(x＋2)－3。⑴化简f(x)的解析式。⑵若0≤θ≤π，求θ使函数f(x)为偶函数。⑶在⑵成立的条件下，求满足f(x)＝1，x∈[－π，π]的x的集合。10．已知函数)(xf＝2cos2x＋23sinxcosx＋1.(1)若x∈[0，π]时，)(xf＝a有两异根，求两根之和；高一年级数学试卷第3页（共13页）(2)函数y＝)(xf，x∈[6，67]的图象与直线y＝4围成图形的面积是多少？11．已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，。（1）求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数()fx的图像关于直线8πx对称。12．已知向量25(cossin)(cossin)||5aααbββab，，=，，，(1)求cos()αβ的值；(2)(2)若500sinsin2213ππαββα，，且，求的值。高一年级数学试卷第4页（共13页）13．已知函数2ππ()sinsin2cos662xfxxxxR，（其中0）（I）求函数()fx的值域；（II）若函数()yfx的图象与直线1y的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()yfx的单调增区间．14．已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？15．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sinB的值；(2)若42b，且a=c，求ABC的面积。高一年级数学试卷第5页（共13页）16.设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，1()24cf，且C为锐角，求sinA.17.在ABC中，sin()1CA,sinB=13.（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积.18．已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，．（1）求()fx的解析式；（2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值．19．已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（I）求()fx的最大值和最小值；（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．高一年级数学试卷第6页（共13页）20．已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx．（I）设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，求0()gx的值．（II）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．1解：（1）tan1tan1tan4tan1tan4tan)4tan(，由21)4tan(，有21tan1tan1，解得31tan（2）1cos21coscossin22cos1cos2sin22265213121tancos2cossin22证明：左边=2222cos2sincossincossin=2(cossin)(cossin)(cossin)=cossincossin=sin1cossin1cos=1tan1tan左边=右边原式成立。3解：由)24cos()24sin()24sin()24sin(高一年级数学试卷第7页（共13页）,414cos21)42sin(21得.214cos又.125),2,4(所以于是2sin2cos22coscossincossin2cos1cottansin2222.325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos4解：由已知tan，tan必为方程02322mxmmx的两根，mm23tantan，mm2tantan，故tan=3/2-m，又由△≥00m，得49m0m，tan的最小值是43．5．解：(1)tan(4＋)＝tan1tan1＝21解得tan＝－31(2)1cos21coscossin22cos1cos2sin222＝6521tancos2cossin26.解：(1)由题意得f(x)＝)(cba＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋2sin(2x＋43)故f(x)的最大值2＋2，最小正周期为22(2)由sin(2x＋43)＝0得2x＋43＝k即x＝2k－83，k∈z于是d＝(83－2k，－2)高一年级数学试卷第8页（共13页）|d|＝48322k(k∈z)因为k为整数，要使|d|最小，则只有k＝1，此时d＝(－8，－2)为所示．7．∵sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0∴sinAsinB＋sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB∵sinB0sinA＝cosA，即tanA＝1又0Aπ∴A＝4，从而C＝43－B由sinB＋cos2C＝0，得sinB＋cos2(43－B)＝0即sinB(1－2cosB)＝0∴cosB＝21B＝3C＝1258．)(xf＝2sin(2x＋6)(1)M＝2T＝π(2)∵)(ixf＝2∴sin(2xi＋6)＝12xi＋6＝2kπ＋2xi＝2kπ＋6(k∈z)又0xi10π∴k＝0,1,2,…9∴x1＋x2＋…＋x10＝(1＋2＋…＋9)π＋10×6＝3140π9．解：(1)f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋3)(2)要使f(x)为偶函数，则必有f(－x)＝f(x)∴2sin(－2x＋θ＋3)＝2sin(2x＋θ＋3)∴2sin2xcos(θ＋3)＝0对x∈R恒成立∴cos(θ＋3)＝0又0≤θ≤πθ＝6(3)当θ＝6时f(x)＝2sin(2x＋2)＝2cos2x＝1高一年级数学试卷第9页（共13页）∴cos2x＝21∵x∈[－π，π]∴x＝－3或310．)(xf＝2sin(2x＋6)＋2由五点法作出y＝)(xf的图象(略)(1)由图表知：0＜a＜4，且a≠3当0＜a＜3时，x1＋x2＝34当3＜a＜4时，x1＋x2＝3(2)由对称性知，面积为21(67－6)×4＝2π.11、解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx2sin22cos222sin(2)4πxxx(1)所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；(2)证明：欲证明函数()fx的图像关于直线8πx对称，只要证明对任意xR，有()()88ππfxfx成立，因为()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，所以()()88ππfxfx成立，从而函数()fx的图像关于直线8πx对称。12、解：(1)因为(cossin)(cossin)aααbββ，，=，，所以(coscossinsin)abαβαβ，，又因为25||5ab，所以2225(coscos)(sinsin)5αβαβ，即4322cos()cos()55αβαβ，；(2)00022ππαβαβπ，，，高一年级数学试卷第10页（共13页）又因为3cos()5αβ，所以4sin()5αβ，5sin13β，所以12cos13β，所以63sinsin[()]65ααββ13、答案：.1)6sin(cos21)cos21sin23(2)1(coscos21sin23cos21sin23)(xxxxxxxxf由-1≤)6sin(cosx≤1，得-3≤1)6sin(cos2x≤1。可知函数)(xf的值域为［-3,1］.（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，)(xfy的周其为w，又由w＞0，得w2，即得w=2。于是有1)62sin(2)(xxf，再由Z)(226222kkk，解得Z)(36kkxk。所以)(xfy的单调增区间为［Z)(3,6kkk］14、解：（1）y=21cos2x+23sinx·cosx+1=41(2cos2x－1)+41+43（2sinx·cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin6+sin2x·cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以y取最大值时，只需2x+6=2+2kπ,（k∈Z），即x=6+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移6，得到函数y=sin(x+6)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数高一年级数学试卷第11页（共13页）y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到y=21cos2x+23sinxcosx+1的图