实数及其运算专题复习

实数及其运算专题复习基础知识过关知识点一实数及其分类知识点二实数的相关概念及性质知识点四实数的混合运算知识点三实数的大小比较知识点五科学记数法与近似数知识点一实数及其分类1.实数:①有理数和无理数统称为实数,②整数和分数统称为有理数.2.实数的分类实数 0正整数整数负整数有理数正分数有限小数或无分数负分数限循环小数正无理数无理数无限不循环小数负无理数温馨提示1.常见的无理数类型:①根号型,如 、 等开不尽方的实数;②含π型,如 、π+5等化至最简后含π的数;③三角函数型,如sin60°、tan60°等;④省略型,如1.010010001……(每相邻两个1之间0的个数依次增加1)等无限不循环小数.2.在无理数常见的类型中,三角函数表示的数不一定都是无理数,如sin30°等.2372知识点二实数的相关概念及性质名称定义性质数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线,叫做数轴实数与数轴上的点是③一一对应的关系相反数只有④符号不同的两个数互为相反数(1)若a与b互为相反数,则a+b=⑤0;(2)相反数等于其本身的数是⑥0倒数乘积为1的两个数互为倒数(1)0没有倒数;(2)倒数等于它本身的数是⑦±1绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a||a|= 平方根(算术平方根)若x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根,记作± (a≥0),正数a的正的平方根叫做数a的算术平方根一个正数有两个平方根,它们互为⑧相反数,0的平方根为⑨0,⑩负数没有平方根和算术平方根立方根若x3=a,则x叫做a的立方根,记作 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0a(a0)0(a0)a(a0)a3a温馨提示1.绝对值是a(a0)的数有两个,它们互为相反数,即±a.2.绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b或a+b=0.3.任意实数的绝对值都是非负数,即|a|≥0.4.绝对值等于它本身的数是非负数,在数轴上,绝对值越大的数所对应的点离原点越远.5.若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.6.相反数等于它本身的数是0,倒数等于它本身的数是±1,平方等于它本身的数是1和0.知识点三实数的大小比较1.数轴比较法:将两个实数分别表示在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2.性质比较法:正数大于0,负数小于0,正数大于负数;两个负数相比较,绝对值大的反而小.3.作差比较法:设a、b是任意两个实数,若a-b0,则ab;若a-b=0,则a=b;若a–b0,则ab.4.特殊比较法:(1)作商法:当a0,b0时,若 1,则ab;若 =1,则a=b;若 1,则ab;当a0,b0时,若 1,则ab;若 =1,则a=b.若 1,则ab.(2)估算法.(3)平方法:当a0,b0时,若a2b2,则ab;当a0,b0时,若a2b2,则ab.(4)倒数法:当a0,b0,或a0,b0时,若  ,则ab.abababababab1a1b知识点四实数的混合运算1.零次幂、负整数指数幂:若a≠0,则a0= 1;若a≠0,p为正整数,则a-p=  .1pa2.实数运算中常用的运算律运算律 ::()()::()():()abbaabcabcabbaabcabcabcabac加法交换律加法加法结合律乘法交换律乘法乘法结合律乘法分配律3.实数范围内的运算顺序:先算乘方、开方,再算 乘除,最后算 加减;有括号的,先算括号内的,按小括号、中括号、大括号依次进行;同级运算要从左到右依次进行.4.非负数性质的应用:若n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为 0.如|a|+b2+ =0,则 a=b=c=0.c知识点五科学记数法与近似数1.科学记数法:将一个数N表示成 a×10n(其中 1≤|a|10,n是整数)的形式叫做科学记数法.2.近似数:接近但不是实际的数或在计算中按要求所取得的与某个准确数接近的数,叫做近似数.一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.3.精确度:近似数的精确度是指这个数精确到数字的实际位数.温馨提示(1)若|N|≥10,则N=a×10n,其中1≤|a|10,n等于N的整数位数减1.(2)若|N|1,则N=a×10n,其中1≤|a|10,n是一个负整数,其绝对值等于N的第一个不是0的数字前面0的个数.(3)含有数字单位(如亿、万、千)的数用科学记数法表示时,先把数字单位转换成数字.泰安考点聚焦考点一实数的相关概念考点二平方根、算术平方根及立方根考点三实数的大小比较考点四科学记数法考点五实数的运算考点一实数的相关概念中考解题指导实数的相关概念有数轴、相反数、绝对值、倒数等,解答此类问题的思路:根据相关概念及意义直接求值.考向1相反数及倒数例1(2018枣庄)- 的倒数是 (A)A.-2B.2C. D.- 121212变式1-12016的倒数是 (D)A.-2016B.- C.2016D. 1201612016变式1-2(-2)3的相反数为 (B)A.-6B.8C.- D. 1618考向2结合数轴进行命题例2(2016泰安)如图,四个实数m、n、p、q在数轴上对应的点分别为M、N、P、Q,若n+q=0,则m、n、p、q四个实数中,绝对值最大的一个是 (A) A.pB.qC.mD.n解析∵n+q=0,∴n和q互为相反数,原点在线段NQ的中点处,∴绝对值最大的是点P表示的数p,故选A.变式2-1(2018枣庄)如图,实数a,b,c,d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D,则下列关系式不正确的是 (B) A.|a||b|B.|ac|=acC.bdD.c+d0解析由题图可知:ab0,dc1,A.|a||b|,正确;B.a、c异号,则|ac|=-ac,错误;C.Bd,正确;D.c+d0,正确.故选B.变式2-2(2017广东)已知实数a,b在数轴上对应的点A,B的位置如图所示,则a+b0.(填“”“”或“=”) 方法技巧(1)求一个数的倒数时,先确定符号,然后根据定义进行乘法运算,看结果是不是1;(2)求一个数的相反数时,只需改变原数的符号,0的相反数是0;(3)求一个数的绝对值时,必须遵循“先判断其正负,再去绝对值符号”的法则,绝对值符号里面的数若是正数,直接去掉绝对值符号,若是负数,则变成它的相反数.考点二平方根、算术平方根及立方根中考解题指导求一个数的平方根、算术平方根及立方根时,若此数含有根号,应先化简,再求值.例3(-2)2的平方根是 (C)A.2B.-2C.±2D. 2解析首先求出(-2)2的值,是4,再求出4的平方根,是±2,故选C.变式3-1 的算术平方根是 (C)A.2B.-2C. D.± 2(2)22解析首先求出 的值,是2,然后根据算术平方根的定义求出2的算术平方根,是 .故选C.2(2)2考点三实数的大小比较中考解题指导实数的大小比较要灵活选用方法,要重视数轴比较法、性质比较法、作差比较法,也要掌握作商法、平方法、倒数法等.例4(2018临沂)在实数-3,-1,0,1中,最小的数是(A)A.-3B.-1C.0D.1解析∵-3-101,∴最小的数是-3.故选A.变式4-1(2017泰安)下列四个数:-3,- ,-π,-1,其中最大的数是 (C)A.-πB.-3C.-1D.- 33解析-π-3- -1,故选C.3变式4-2(2017甘肃)估计 与0.5的大小关系是 0.5.(填“”“”或“=”)512512解析采用作差法求解, -0.5= .因为 -20,所以 0.5.方法技巧(1)比较有理数的大小时,可运用正负性进行比较或借助数轴进行比较;(2)若一组数中含有带根号的无理数,一般可采用平方法进行比较;(3)若一组数中含有π,一般采用取近似值法进行比较.5125225512考点四科学记数法中考解题指导涉及科学记数法的题有两类:一是将一个数用科学记数法表示;二是将用科学记数法表示的数还原.例5(2018泰安)一个铁原子的质量是0.000000000000000000000000093kg,将这个数用科学记数法表示为9.3×10-26.变式5-1(2017泰安)“2014年至2016年,中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”.将3万亿用科学记数法表示为 (C)A.3×1014B.3×1013C.3×1012D.3×1011解析3万亿即3000000000000,3000000000000=3×1012,故选C.方法技巧(1)科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|10,n为整数,表示时要正确确定a的值以及n的值;(2)对于含有计数单位的数,需要先利用1亿=1×108,1万=1×104,1千=1×103等将计数单位转换,然后用科学记数法表示.考点五实数的运算中考解题指导实数的混合运算要综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数幂和负整数指数幂等知识,同时要注意运算顺序.考向1实数的混合运算例6(2018泰安)计算-(-2)+(-2)0的结果是 (D)A.-3B.0C.-1D.3解析原式=2+1=3,故选D.变式6-1若()-(-2)=3,则括号内的数是 (B)A.-1B.1C.5D.-5解析1-(-2)=3,故选B.变式6-2计算: -|- +2|+( -1.414)0-3tan30°- .212322(2)解析原式=4-(2- )+1-3× -2=4-2+ +1- -2=1.33333考向2非负数性质的应用例7已知|x-y+2|+ =0,则x2-y2的值为-4.解析根据非负数的性质可得 所以x–y=-2,x+y=2,所以x2-y2=(x-y)(x+y)=-4,故答案为-4.2xy20,20,xyxy变式7-1若 +|2a-b+1|=0,则(b-a)2015的值为-1.5ab解析由题意得 解得 所以(b-a)2015=-1.方法技巧在进行实数的混合运算时,一是要注意运算顺序;二是要注意符号的变化,要特别注意的是负数的整数次幂以及有绝对值时的符号的确定.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都等于0.50,210,abab2,3,ab随堂巩固训练一、选择题1.(2018德州)3的相反数是 (C)A.3B. C.-3D.- 13132. 的相反数的倒数是 (D)A. B.- C.3D.-3131313解析∵ = ,∴ 的相反数是- ,∴- 的倒数是-3.13131313133. 的算术平方根是 (C)A.2B.±2C. D.± 422解析因为 =2,所以求 的算术平方根即求2的算术平方,根据算术平方根的定义可知2的算术平方根为 ,故选C.4424.地球的表面积约为510000000km2,将510000000用科学记数法表示为 (C)A.0.51×109B.5.1×109C.5.1×108D.0.51×1075.(2018青岛)如图,点A所表示的数的绝对值是 (A) A.3B.-3C. D.- 1313解析因为点A表示的数为-3,所以点A表示的数的绝对值是3,即|-3|=3.二、填空题6.比较大小:2 (填“”“=”或“”).解析∵34,∴  ,即 2.3334三、解答题7.(2018枣庄)计算:| -2|+sin60°- - +2-2.2112273解析原式=2- + -3 - + =- .332394732