解三角形中的最值问题

1解三角形中的最值问题1、在ABC中，角,,ABC所对边长分别为,,abc，若2222abc，求cosC的最小值。【解析】由余弦定理知214242)(212cos222222222abababbaabbabaabcbaC，2、在ABC中，60,3BAC，求2ABBC的最大值。3、在ABC中，已知角,,ABC的对边分别为a,b,c，且,sin3cos2sinabAAB。（1）求角C的大小；（2）求abc的最大值。解析：（1）由sin3cos2sinAAB得2sin2sin3AB，则sinsin3AB，因为,ab则AB，所以3AB，故2,33ABC。（2）由正弦定理及（1）得sinsin2=sinsin=3sincos2sinsin363abABAAAAAcC所以当3A时，abc取得最大值2.4、△ABC在内角,,ABC的对边分别为,,abc,已知cossinabCcB.(1)求B;(2)若2b,求△ABC面积的最大值.【答案】25、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（1）求A的大小；（2）求sinsinBC的最大值.解：6、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，且满足(2)acBABCcCBCA。（1）求角B的大小；3（2）若||6BABC，求ABC面积的最大值。答案：（1）(2)coscosacBbC，由正弦定理得(2sinsin)cossincos,ACBBC2sincossin()ABCB，即2sincossinABA，所以2cos2B，即4B。（2）因为||6BABC，即||6CA，即6b，由余弦定理得222222(22)bacacacacac，即3(22)ac12323sin242SacBac7、已知2cos23sin,1,,cosaxxbyx，且a⫽b。（1）将y表示成x的函数()fx，并求()fx的最小正周期；（2）记()fx的最大值为M，,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC对应的边长，若2AfM，且2a，求bc的最大值。答案：（1）由a⫽b得22cos23sincos0,xxxy即22cos23sincoscos23sin212sin216yxxxxxx所以()2sin216fxx，所以函数()fx的最小正周期为。（2）由（1）易得3M，于是有3,2AfM即2sin136A，所以sin16A，故3A。由余弦定理2222cosabcbcA得2242bcbcbcbcbc解得4bc8、在ABC中，角ABC、、的对边分别为,,abc，不等式2cos4sin60xCxC对于一切实数x恒成立。（1）求角C的最大值；（2）当角C取得最大值时，若2ab，求c的最大值。答案：（1）因为max2cos01cos,16sin24cos023CCCCC（2）2222cos,cababC由（1）得222()34312abcabab，所以c的最小值为1.