概率论与数理统计教案一、课程性质数学研究内容概率论研究随机

1概率论与数理统计教案一、课程性质数学确定性数学初等数学、高等数学、线性代数等等随机数学概率论、数理统计、随机过程研究内容：概率论研究随机现象的数量规律，数理统计以概率论为基础，研究如何有效收集、整理和分析随机性的数据。二、学科构成基础部分---概率论:古典概率、随机变量及其分布、分布函数、数字特征等应用部分---数理统计:统计量构造、参数估计、假设检验、回归分析等三、应用广泛地应用于工农业、军事、科技、经济等领域，例如：气象预报、产品验收、可靠性研究等等。与基础学科、工程学科结合可产生新的学科和研究方向。例如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、数量经济等。第一章概率论的基本概念§1样本空间、随机事件、概率的定义和性质一、基本概念1、随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。例如抛硬币可能出现正面，也可能反面。注：随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性。2、随机试验：在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验..①可以在相同的条件下重复地进行;②每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.3、样本空间：称随机试验所有可能的结果所组成的集合为样本空间,记为Ω。样本空间的元素,即随机试验的每一个结果,称为样本点.例1、抛掷一枚骰子,观察出现的点数.1,2,3,4,5,64、随机事件：样本空间Ω的子集成为随机事件，一般以大写字母,,ABC表示。特别的，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。上例中，126{1},{2},......,{6}AAA分别表示结果为“一点”至“六点”，都是基本事件。{1,3,5}B，表示结果为“偶数点”，非基本事件。注：Ω—必然事件。--不可能事件二、事件的关系及运算I关系1.包含关系:“A发生必导致发B生”记为AB2ABAB且BA2.和事件:AB表示A与B事件至少发生一个。121,,,;nknkAnAAA推广称为个事件的和事件121,,kkAAA称为可列个事件的和事件3.积事件:ABAB表示A与B事件同时发生。121,,,;nknkAnAAA推广称为个事件的积事件121,,kkAAA称为可列个事件的积事件4.互斥事件：若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容或互斥,即ABAB5、对立事件：称A为A的对立事件或者逆事件，记作AA注：互斥对立，反之不然6、差事件：由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作ABABII.运算(与集合运算法则相同)(1)交换律,ABBAABBA(2)结合律()()ABCABC，()()ABCABC3()()()ABCACBCACBC（）分配律()()()()()ABCACBCACBC(4)德.摩根律,ABABABAB例2、设,,ABC为三个随机事件，用运算关系表示下列各事件（1）A发生，而,BC不发生---ABC（2）,AB都发生，而C不发生---ABC（3）,,ABC至少一个发生---ABC3（4）,,ABC不多于一个发生---ABCABCABCABC（5）,,ABC至少两个发生---ABCABCABCABC或者ABBCAC三、概率的定义1、频率及频率的性质(1)定义1：在相同的条件下，重复进行了N次试验，若事件A发生了次，则称比值N为事件A在N次试验中出现的频率，记为NAFN)(。(2)频率的性质：⑴非负性：对任意A，有0)(AFN⑵规范性：1)(NF⑶可加性：若A、B互斥，则()()()NNNFABFAFB(3)频率的稳定性：在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率)(AFN也越大。由于事件A发生的可能性大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率又有稳定性，故而可通过频率来定义概率。2.概率的定义和性质（1）定义2若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数()PA，满足条件：[1]非负性：对任一事件A，有()0PA[2]规范性：()1P[3]可列可加性：设12,....AA是一列两两互不相容的事件，即ijAA(ij),有1211(...)()()iiiiPAAPAPA，则称()PA为事件A的概率。(2)概率的性质[1]不可能事件概率零：()0P[2]有限可加性：设12,....nAAA是n个两两互不相容的事件，即ijAA,()ij，4,1,2...,ijn则有1211(...)()()nnniiiiPAAAPAPA[3]单调不减性：若事件BA，则()()PBPA，且()()()PBAPBPA[4]互补性：()1()PAPA且0()PA1;[5]加法公式：对任意两事件A、B，有()PAB=()()()PAPBPAB公式可推广到任意n个事件12,....nAAA的情形；[6]可分性：对任意两事件A、B，有()()()PAPABPAB例3设,AB为两事件，且()0.6,PA()0.7,PB问：（1）在什么条件下，()PAB取最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下，()PAB取最小值，最小值是多少？解：（1）由概率的单调性()()0.6()()0.7PABPAPABPB故()()0.6PABPA所以最大值()()0.6PABPA，此时AB即ABA（2）由加法公式()PAB＝P(A)＋P(B)－P(AB)得()()()()0.60.7()PABPAPBPABPAB1.3()PAB所以当AB时，()PAB有最小值0.3§2古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式一、古典概型、几何概型的基本概念和公式1、古典概型：如果随机试验满足：(1);试验的样本空间只包含有限个元素(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同；则这样的试验模型称为古典概率模型。古典概型中事件概率的计算公式：设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且A包含m个样本点，则事件A出现的概率记为:()mAPAn所包含样本点的个数样本点总数例1、掷一颗均匀骰子，设A表示结果为“四点或五点”，B表示结果为“偶数点”，求：()PA和()PB5解：由6,2,3ABnmm得21()63PA，31()62PB例2、摸球模型（无放回）设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。解：{2}A设摸得只球都是白球，A所包含基本事件的个数为24C，基本事件总数为26C，故24262()5CPAC。摸球模型（有放回）设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中有放回地摸球2次,求第1次摸到黑球，第2次摸到白球的概率.解：{1,}A设第次摸到黑球第2次摸到白球，A所包含基本事件的个数为248，基本事件总数为6636，故82()369PA例3、抽样模型设有N件产品，其中有M件次品，今从中随即抽取n件，问(1)在有放回的方式下，n抽取的件产品中恰有?m件次品(事件A)的概率是多少(2)在无放回的方式下，n抽取的件产品中恰有?m件次品(事件B)的概率是多少解：(1)()()()(1)mmnmmmnmnnnCMNMMMPACNNN(2)()mnmMNMnNCCPBC2、几何概型：当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，则事件A的概率可定义为()ASPAS(,AS其中S是样本空间的度量是构成事件A的子区域的度量),这样借助于积几何上的度量来规定的概率模型称为几何概型。注：特点①基本事件数无限②等可能性：随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关。例4、会面问题甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间()ttT后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.解：,,xy设分别为甲、乙两人到达的时刻两人会面的充要条件为xyt，6若以x,y表示平面上点的坐标,故所求的概率为P阴影部分面积正方形面积则P222()TTtT21(1)tT。例4、（会面问题）两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率？解：以x，y分别表示两人到达时刻（7点设为零时刻），则会面的充要条件为20yx这是一几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点为图中阴影部分，所求概率95604060222p例5、蒲丰投针试验1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为(0)aa的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为()bba的针,试求针与某一平行直线相交的概率.解：,xM以表示针投到平面上时针的中点到最近,的一条平行直线的距离表示针与该平行直线的夹角，则针落在平面上的位置完全可以由(,)x确定，投针试验的所有可能结果与矩形区域{(,):0,0π}2aSxx中的所有点一一对应，事件{}A针与某一平行直线相交S发生的充分必要条件为中的点满足0sin,0π2bx，则μ()()μ()GGPASS的面积的面积=π0sind2π2ba2ππ2bbaa二、条件概率0、引言设,AB为任意两个事件，假设事件B已发生，前面我们已经研究了()PB，而在实际问题往往需要我们去研究此时A发生的概率，为区别起见，我们把这种情况下的概率记为()PAB，称为事件B已经发生条件下事件A发生的条件概率。7引例、考虑有两个孩子的家庭：{(,),(,),(,),(,)}bbbggbgg，下列事件A=｛家中至少有一个男孩｝，则3()4PAB=｛家中一男一女｝，则1()2PB，ABB=｛家中一男一女｝，()PAB1()2PB若条件改变为：考虑有两个孩子的家庭，一直其中至少一个男孩（A），再求出现“一男一女”（B）的概率。分析：条件改变后样本空间缩小为{(,),(,),(,)}Abbbggb，此时根据古典概率计算得2()3PB，从数值上可以得到2()()3()PABPBPA1、定义,,()0,ABPA设是中两个事件且称()()()PABPBAPA为A在事件发生的条件下事件B发生的条件概率。2、条件概率的性质：(1):()0PBA非负性(2):()1,()0PBPB规范性121212(3)()()()()PAABPABPABPAAB(4)()1()PABPAB12(5):,,,BB可列可加性设是两两不相容的事件则有11()iiiiPBAPBA例6、某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?解：设20A能活到岁以上，25B能活到岁以上，则根据条件概率定义有()()()PABPBAPA，又()0.8PA，()0.4,PB()()PABPB，则()PBA0.410.82例7、（1）已知()0.3,()0.4,()0.PAPBPAB5，求()PBAB（2）已知111(),(),(),432PAPBAPAB求()PAB解：（1）令CAB，则()()()()()0.8PCPABPAPBPAB()()()()0.2PBCPABPAPAB，所以()PBAB()0.25()PBCPC8（2）由定义()()()PABPBAP