数学模型第三版(高等教育出版社)课后习题答案

第一章作业解答第1页共58页《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）.按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）.§1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432,333,235321ppp31.1000iip方法一（按比例分配）,35.23111iipNpq,33.33122iipNpq32.43133iipNpq分配结果为：4,3,3321nnn方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4,3,2321nnn12345ABC235117.578.358.75…333166.511183.25…43221614410886.4第一章作业解答第2页共58页第10个席位：计算Q值为,17.92043223521Q,75.92404333322Q2.93315443223Q3Q最大，第10个席位应给C.分配结果为5,3,2321nnn方法三（d’Hondt方法）此方法的分配结果为：5,3,2321nnn此方法的道理是：记ip和in为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.iinp是每席位代表的人数，取,,2,1in从而得到的iinp中选较大者，可使对所有的,iiinp尽量接近.再考虑15N的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）ABC322333455443555667总计1010101515152．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t到tt时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdnwknrvdt两边积分，得ntdnwknrkvdt00)(2)222nwkk(rnπvt.222nvkwnvrkt第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车第一章作业解答第3页共58页获得的功率P与v、S、的关系.解:设P、v、S、的关系为0),,,(svPf，其量纲表达式为:[P]=32TML,[v]=1LT,[s]=2L,[]=3ML,这里TML,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML齐次线性方程组为：030032221414321yyyyyyyy它的基本解为)1,1,3,1(y由量纲iP定理得1131svP，113svP，其中是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,g的关系为(fv,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[g]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131gvTML齐次线性方程组Ay=0，即02y-y-y-0yy0yy-3y-y431324321的基本解为y=(-3,-1,1,1)由量纲iP定理得gv13.3gv，其中是无量纲常数.16*．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度g有关，其中粘第一章作业解答第4页共58页滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,，g的关系为0),,,,(gvf.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0，[g]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(210010110011311gvTML齐次线性方程组Ay=0即020035414354321yyyyyyyyyy的基本解为)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21yy得到两个相互独立的无量纲量2/112/322/12/11ggv即1212/12/31,ggv.由0),(21,得)(121)(12/12/3gg,其中是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为0),,,,(kgmltf其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][LTMLTvfkTLMgMTLmTLMlTMLt10MTL，其中L，M，T是基本量纲.第一章作业解答第5页共58页量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010kgmltTML齐次线性方程组02005415342yyyyyyy的基本解为)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21YY得到两个相互独立的无量纲量∴glt1,)(21,2/12/12mgkl∴)(2/12/1mgklglt，其中是未定函数.考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,'t；l,'l;m,'m.又)(2/12/1gmlkglt当无量纲量llmm时，就有lllggltt.《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．22/112/112/12/1kgmlgtl第一章作业解答第6页共58页解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．01对于不允许缺货模型，每天平均费用为：krrTcTcTC2)(212221rcTcdTdC令0dTdC，解得rccT21*2由rTQ，得212crcrTQ与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02对于允许缺货模型，每天平均费用为：kQQrTrcrQccTQTC23221)(221),(2223322221222TkQrTQcrcrTQcTcTCTkrTQccrTQcQC332令00QCTC，得到驻点：323222233232132233221)(22cckrcccrkcccccrcQcckcccrccT与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，第一章作业解答第7页共58页rk．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间00Tt一边生产一边销售，后来的一段时间)(0TtT只销售不生产，画出贮存量)(tg的图形.设每次生产准备费为1c，单位时间每件产品贮存费为2c，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论rk和rk的情况.解：由题意可得贮存量)(tg的图形如下：贮存费为niTiitTTrkcdttgctgc10202022)()()(lim又)()(00TTrTrkTkrT0,贮存费变为kTTrkrc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrkrcTckTTrkrcTcTC2)(2)()(21221krkrcTcdTdC2)(221.0dTdC令,得)(221rkrckcT易得函数处在TTC)(取得最小值，即最优周期为：)(221rkrckcTrcc，Trk212时当.相当于不考虑生产的情况.，Trk时当.此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.rk)(tgrtgT0TO第一章作业解答第8页共58页第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度将减小，我们作如下假设:1)(bkb，分母时是防止中的011bb而加的.总费用函数xcbkxbxtcbkxbtctcxC3122121211)1()(2)1(2最优解为kbkcbbbckbcx)1(2)1()1(2232215．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设tqtq0)(，为增长率.又设单位时间的销售量为)(为价格pbpax.今将销售期分为TtTTt220和两段，每段的价格固定，记作21,pp.求21,pp的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为0Q，再求21,pp的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为TtTbpaTtbpax2,20,21又tqtq0)(.于是总利润为202221121)()()()(),(TTTdtbpatqpdtbpatqppp=22)(022)(20222011TTttqtpbpaTttqtpbpa=)8322)(()822)((20222011TtqTpbpaTTqTpbpa)(2)822(12011bpaTTTqTpbp第一章作业解答第9页共58页)(2)8322(22022bpaTTtqTpbp0,021pp令,得到最优价格为:)43(21)4(210201TqbabpTqbabp在销售期T内的总销量为20221210)(2)()(TTTppbTaTdtbpadtbpaQ于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max2022201121TtqTpbpaTTqTpbpappts.021)(2QppbTaT利用拉格朗日乘数法，解得：880201TbTQbap