2018届江苏各大市高三数学第一次模拟考试合集

2018届高三年级第一次模拟考试(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体体积公式：V＝Sh，其中S为底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{x|x(x－4)0}，B＝{0，1，5}，则A∩B＝________.2.设复数z＝a＋i(a∈R，i为虚数单位)，若(1＋i)·z为纯虚数，则a的值为________．3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80)(单位：分钟)内的学生人数为________．(第3题)(第4题)4.执行如图所示的伪代码，若x＝0，则输出的y的值为________.5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________.6.若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x24－y25＝1的右焦点重合，则实数p的值为________.7.设函数y＝ex＋1ex－a的值域为A，若A⊆[0，＋∞)，则实数a的取值范围是________.8.已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________.9.若函数y＝sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.10.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________.11.设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x（3－x），0≤x≤3，－3x＋1，x3，若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________.12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－33)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足OP→＝3OQ→，则实数k的最小值为________.13.如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且点A，B的位置如图所示，则AB→·CD→的最大值为________．14.若不等式ksin2B＋sinAsinC19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，M，N分别是AB，A1B1的中点．(1)求证：BN∥平面A1MC；(2)若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.16.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝52b.(1)若C＝2B，求cosB的值；(2)若AB→·AC→＝CA→·CB→，求cosB＋π4的值.17.(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD(如图1所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图2所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形，且弧EF，GH分别与边BC，AD相切于点M，N.(1)当BE为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？图1图218.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的下顶点为B，M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且Q是线段OP的中点．当点N运动到点3，32处时，点Q的坐标为233，0.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，DN→＝2NM→时，求直线BM的方程.19.(本小题满分16分)设数列{an}满足a2n＝an＋1an－1＋λ(a2－a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数.(1)若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；(2)若a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在r∈[3，7]，使得m·an≥n－r对任意的n∈N*都成立，求实数m的最小值；(3)若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an＋T＝an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值．20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R).(1)当c＝0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，求a，b的值；(2)当b＝3－a时，若对任意x0∈(1，＋∞)和任意a∈(0，3)，总存在不相等的正实数x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求c的最小值；(3)当a＝1时，设函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点．求证：x1x2－x2bx1x2－x1.2018届高三年级第一次模拟考试(一)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD⊥DE，垂足为D.若DE＝4，求切点E到直径AB的距离EF.B.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M＝2001，求圆x2＋y2＝1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.C.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线ρcosθ＋π3＝1与曲线ρ＝r(r0)相切，求r的值.D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数x，y满足x2＋3y2＝1，求当x＋y取最大值时x的值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.(本小题满分10分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，M为PC的中点，AC＝4，BD＝2，OP＝4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值；(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．23.(本小题满分10分)已知n∈N*，nf(n)＝C0nC1n＋2C1nC2n＋…＋rCr－1nCrn＋…＋nCn－1nCnn.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想．2018届南京、盐城高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.{1}2.13.12004.15.236.67.(－∞，2]8.3π49.0，1410.403411.1，9412.－313.2414.10015.解析：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB＝A1B1.又M，N分别是AB，A1B1的中点，所以MB＝A1N，且MB∥A1N，所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN.(4分)又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC.(6分)(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC.又CA＝CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB.因为由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，所以CM⊥侧面ABB1A1.(8分)又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM.(10分)又AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面A1MC，且A1M∩MC＝M，所以AB1⊥平面A1MC.(12分)又A1C⊂平面A1MC，所以AB1⊥A1C.(14分)16.解析：(1)因为c＝52b，所以由正弦定理得sinC＝52sinB.(2分)又C＝2B，所以sin2B＝52sinB，即4sinBcosB＝5sinB.(4分)又B是△ABC的内角，所以sinB0，故cosB＝54.(6分)(2)因为AB→·AC→＝CA→·CB→，所以cbcosA＝bacosC，由余弦定理得b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，得a＝c，(10分)从而cosB＝a2＋c2－b22ac＝c2＋c2－25c22c2＝35.(12分)又0Bπ，所以sinB＝1－cos2B＝45，从而cosB＋π4＝cosBcosπ4－sinBsinπ4＝35×22－45×22＝－210.(14分)17.解析：(1)在图1中，连结MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R.在Rt△OET中，因为∠EOT＝12∠EOF＝60°，所以OT＝R2，则MT＝OM－OT＝R2，从而BE＝MT＝R2，即R＝2BE＝2.(2分)故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3.(4分)因为所得柱体的高EG＝6－1×2＝4，所以V＝S·EG＝16π3－43.故当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为16π3－43立方分米．(6分)(2)设BE＝x，则R＝2x，所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3x2.因为所得柱体的高EG＝6－2x，所以V＝S·EG＝8π3－23(－x3＋3x2)，其中0x3.(10分)令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0，3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.(12分)当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：所以当x＝2时，f(x)取得最大值．故当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．(14分)18.解析：(1)由N3，32，Q233，0得直线NQ的方程为y＝32x－3.(2分)令x＝0，得点B的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x2a2＋y23＝1.(4分)将点N的坐标3，32代入，得（3）2a2＋3223＝1，解得a2＝4.所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(8分)(2)设直线BM的斜率为k(k0)，则直线BM的方程为y＝kx－3.在y＝kx－3中，令y＝0，得xP＝3k，而Q是线段OP的中点，所以xQ＝32k.所以直线BN的斜率kBN＝kBQ＝0－（－3）32k－0＝2k.(10分)联立y＝kx－3，x24＋y23＝1，消去y，得(3＋4k2)x2－83kx＝0，解得xM＝83k3＋4k2.用2k代k，得xN＝163k3＋16k2.(12分)又DN→＝2NM→，所以xN＝2(xM－xN)，所以2xM＝3xN.(14分)故2×83k3＋4k2＝3×163k3＋16k2.又k0，解得k＝62，所以直线BM的方程为y＝62x－3.(16分)19.解析：(1)由题意，可得a2n＝(an＋d)(an－d)＋λd2，化简得(λ－1)d2＝0，又d≠0，所以λ＝1.(4分)(2)将a1＝1，a2＝2，a3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，所以a2n＝an＋1an－1，所以数列{an}是首项为1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n－1.(6分)欲存在r∈[3，7]，使得m·2n－1≥n－r恒成立，即r≥n－m·2n－1对任意n∈N*都成立，则7≥n－m·2n－1，所以m≥n－72n－1对任意n∈N*都成立．(8分)令bn＝n－72n－1，则bn＋1－bn＝n－62n－n－72n－1＝8－n2n，所以当n8时，bn＋1bn；当n＝8时，b9＝b8；当n8时，bn＋1bn.所以bn的最大值为b9＝b8＝1128，所以m的最小值为