合情推理-归纳推理与类比推理.ppt

华罗庚教授曾举过一个例子：从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候，这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是，当我们有一次摸出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个猜想对不对，还必须加以检验……从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不断地提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想的过程已知的判断新的判断确定根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.问题情境11、对自然数n，考查112nnn0123456112nn11111331172341都是质数结论：对所有的自然数n，都是质数。112nn2、前提：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平方和。结论：长方体的对角线的平方等于其长、宽、高的平方和。3、前提：所有的树都是植物，梧桐是树。结论：梧桐是植物。思考:这三个情境有什么共同特点？这三个情境各什么特点？都由前提和结论两部分构成推理的结构形式有不同的特点推理推理：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.说明：（1）任何推理都包括前提和结论两个部分；（2）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出什么（3）推理包括：合情推理和演绎推理其中合情推理包括归纳推理和类比推理3＋7＝103＋17＝2013＋17＝3010＝3＋720＝3＋1730＝13＋176＝3+3，8＝3+5,10＝5+5,……1000＝29+971，1002=139+863,……猜想任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想一个规律：偶数＝奇质数＋奇质数哥德巴赫猜想的过程：具体的材料观察分析猜想出一般性的结论归纳推理的过程：由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理,称为归纳推理(简称归纳).部分对象全部对象个别事实一般结论例1.蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，海龟也是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。例2三角形的内角和是,凸四边形的内角和是,凸五边形的内角和是…180360540180)2(n例题解析：由此我们猜想:凸n边形的内角和是所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例3:221331由此我们猜想:(,,bbmabmaam均为正实数）222332223333归纳推理的一般模式:S1具有P,S2具有P,……Sn具有P,(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象）所以A类事物具有P归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、个别到一般的推理注意归纳推理的结论不一定成立（3）地图的“四色猜想”：数学家猜想，任何地图着色只需四种颜色就足够了。直到1976年9月，美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是正确的!他们将地图的四色问题化为2000个特殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算了1200个小时，终于证明了四色问题。（4）哥尼斯堡七桥猜想：18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯．3、火星上是否存在生命？可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星与地球类比的思维过程：火星地球存在类似特征地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在..试将平面上的圆与空间的球进行类比圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积圆的概念和性质球的类似概念和性质圆心与弦(非直径)中点连线垂直于弦.与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长.以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆.与球心距离相等的两截面圆面积相等;与球心距离不等的两截面圆面积不等,距球心较近的截面圆面积较大.以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.由具有，在此基础上，根据,推出，我们把这种的推理称为类比推理.两类对象某些类似特征一类对象的某些已知特征另一类对象也具有这些特征1、进行类比推理的步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.2、类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d’.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a’,b’,c’,(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）观察、比较联想、类推猜想新结论类比推理类比推理以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能，启发思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用。由特殊到特殊的推理类比推理的结论不一定成立注意•1．下面几种推理是类比推理的是()•A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)•B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质•C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员•D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除•答案：B•2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b8b9＝29，若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}类似的结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：在等差数列中“积”变“和”得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.答案：D3．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．解析：原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar⇒r＝13h，类比问题的解法应为等体积法，V＝13Sh＝4×13Sr⇒r＝14h，即正四面体的内切球的半径是高的14.答案：正四面体的内切球半径是高的14例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。S3S2S1CAPEFDB直角三角形∠C＝90°2条直角边a，b和1条斜边c3个面两两垂直的四面体∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°三个两两垂直的面S1，S2，S3和1个“斜面”S例题:类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。ABCbacs1s3△PEF的面积为SPEs2DF？c2=a2+b2分析：2322212ssssMabc2322212ssss,212121,,2222322caacDMDMcaDMEFacscaEF由题知△PEF的面积为S222222bcaacPDDMPM)(222222222222222222222414141414121cbbacabcacacabcaaccaPMEFS)()(])[()(232221sss2322212ssss下面证明猜想是否成立：,,,cDPbDFaED证明：设过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EFPEDFMacb1S2S3S变式练习：在三角形ABC中有结论：AB+BCAC，类似地在四面体P-ABC中有.PＡＣＢABCS1S2S3△PAB的面积为SSSSS321平面图形（二维）立体图形（三维）点点或线线线或面平面直角坐标系空间直角坐标系几何中常见的类比对象几何中常见的类比对象三角形四面体（各面均为三角形）四边形六面体（各面均为四边形）圆球代数中常见的类比对象复数向量方程函数不等式交集，并集，补集且，或，非运算数有限相等四面体（各面均为三角形）球面线几何中常见的类比对象三角形圆向量无限不等代数中常见的类比对象线平面几何立体几何点例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=ba2=b2;猜想不等式的性质：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞ba2＞b2;例题解析：问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,b∈R,则a+b∈R运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a单位元a+0=a若a,b∈R,则ab∈Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa·1=a圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2利用圆的性质类比得出球的性质球的体积34V=πR3球的表面积2S=4πR圆的周长S=2πR圆的面积2S=πR练习.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp平面上空间中图形结论1ccbbaahphphp1abcdabcdpppphhhhABCPpapbpcABCDP,,,S,___________.ABCabcABC例1：已知三边长为面积为则内切圆半径r=2Sabc分析：面积法由12r(a+b+c)=Sr=2Sa+b+c1234,A-BCD,,,,R________________.SSSSV根据类比推理的方法若一个四面体四个面的面积分别为体积为，则四面体的内切球半径12343VSSSS,,,S,2.ABCabcSABCabc变式：已知三边长为面积为则内切圆半径r=ABCDOO小结☞归纳推理和类比推理的过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理归纳推理类比推理2、类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；结论不一定成立.1、归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具