合情推理与演绎推理题型整理总结

题型一用归纳推理发现规律例1：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。23135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；23165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202.解析：猜想：23)60(sinsin)60(sin02202证明：左边=2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin=23)cos(sin2322=右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.解析：原问题的解法为等面积法，即hrarahS3121321，类比问题的解法应为等体积法，hrSrShV4131431即正四面体的内切球的半径是高41注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等题型三利用“三段论”进行推理例3某校对文明班的评选设计了edcba,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样edcbaS1来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出abedc0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入edcba,,,,中的某个字母）解析：因edcba,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，abedc0，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是（）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤答案：C3.已知0(1,2,,)iain，考察下列式子：111()1iaa；121211()()()4iiaaaa；123123111()()()9iiiaaaaaa.我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不等式为答案：21212111()()nnaaanaaa4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．[解析]解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为83a5.已知ABC的三边长为cba,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABCSABC），则ABCS)(21cbar；类比这一结论有：若三棱锥BCDA的内切球半径为R，则三棱锥体积BCDAV[解析]1(3ABCABDACDBCDRSSSS6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0CByAx，圆心在),(00yx的圆的一般方程为22020)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000zyx的球的一般方程为_______________________.答案；0AxByCzD；2222000()()()xxyyzzr7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；（2）已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为____________．答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）318a；8.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22132313524135732353379113413151719根据上述分解规律，则2513579,若3*()mmN的分解中最小的数是73，则m的值为答案：9m(2014全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。小王说：“我肯定考上重点大学。”小刘说：“重点大学我是考不上了。”小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相反。可见：（）（A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学（B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学（C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学（D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上3、给出下列三个命题：①若bbaaba11,1则；②若正整数nm和满足nm，则2)(nmnm；③设9:),(22111yxOyxP为圆上任意一点，圆2O以),(baQ为圆心且半径为1。当1)()(2121ybxa时，圆21OO与圆相切。其中假命题．．．的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3二、填空题4、设函数221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得(5)(0)(5)(6)ffff的值为.一、选择题（1）由推理知识，可知应选（C）（3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）二、填空题（4）分析此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算)1()(xfxf：221)(xxf，xxxxxxf222212222221)1(1，22222211)1()(xxxfxf，发现)1()(xfxf正好是一个定值，12222S，23S.【典型例题】例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（）A．1643B．1679C．1681D．1697答案：C。解析：观察可知：),1(2,,6,4,21342312naaaaaaaann累加可得：2)1(2)222)(1()1(2421nnnnnaan，,41222nnan验证可知1681符合此式，且41×41=1681。（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③方程),,(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比得到：方程),,(02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是042acb；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案：D。解析：由复数的性质可知。（3）定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.DADB,B.CADB,C.DACB,D.DADC,答案：B。例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径222bar，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是2222cbar。例4：请你把不等式“若21,aa是正实数，则有21122221aaaaaa”推广到一般情形，并证明你的结论。答案：推广的结论：若naaa,,,21都是正数，nnnnaaaaaaaaaaa211212322221证明：∵naaa,,,21都是正数∴122212aaaa，211222aaaa………，1212nnnnaaaa，nnaaaa2112nnnnaaaaaaaaaaa211212322221【课内练习】1．给定集合A、B，定义},,|{BnAmnmxxBA，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合BA中的所有元素之和为（）A.15B.14C.27D.-14答案：A。解析：}5,4,3,2,1{BA，1+2+3+4+5＝15。2．观察式子：474131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（）A、121131211222nnB、121131211222nnC、nnn12131211222D、122131211222nnn答案：C。解析：用n=2代入选项判断。3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。4．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列na，则由,4,3,2342312aaaaaa归纳猜测29,3028292930aaaa，两式相加得592830aa。或由321,21,1321aaa，猜测nan21。5．数列}{na是正项等差数列，若nnaaaabnn32132321，则数列}{nb也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列}{nc，若nd=，则数列{nd}也为等比数列.答案：nnncccc321133221)(。6．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如