数学归纳法-(有答案)

数学归纳法2015高考会这样考1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．复习备考要这样做1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．[难点正本疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．小试牛刀1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.答案π解析易得f(k＋1)＝f(k)＋π.2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1n(n1)”，由n＝k(k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．答案2k解析n＝k时，左边＝1＋12＋…＋12k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋…＋12k＋1－1.所以左边应增加的项的项数为2k.3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C解析观察等式左边的特征易知选C.4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝21n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案B解析因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.5．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14答案D解析从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项.二、典型例题题型一用数学归纳法证明等式例1已知n∈N*，证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关．证明①当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－1－12k＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋1k＋1－12k＋1＝1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋1k＋1＋k＋1k＋1＋k＋1＝右边，所以当n＝k＋1时等式也成立．综合①②知对一切n∈N*，等式都成立．探究提高用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【变式1】用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．题型二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：1＋n2≤1＋12＋13＋…＋12n≤12＋n(n∈N*)．思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．证明(1)当n＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，∴32≤1＋12≤32，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋12k≤12＋k，则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k1＋k2＋2k·12k＋2k＝1＋k＋12.又1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．探究提高(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．【变式2】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立．证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．题型三用数学归纳法证明整除性问题例3用数学归纳法证明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n为正整数．思维启迪：当n＝k＋1时，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配凑成42k＋1＋3k＋2的形式是解题的关键．证明(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，方法一42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)，∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除．∴42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除．方法二因为[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－3(42k＋1＋3k＋2)＝42k＋1·13，∵42k＋1·13能被13整除，∴[42(k＋1)＋1＋3k＋3]－3(42k＋1＋3k＋2)能被13整除，因而42(k＋1)＋1＋3k＋3能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立，由(1)(2)知，当n∈N＋时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．探究提高用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P(k＋1)进行分拆、配凑成P(k)的形式，也可运用结论：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除⇒P(k＋1)能被p整除．”【变式3】已知n为正整数，a∈Z，用数学归纳法证明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．证明(1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)(2)可知，对于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．题型四归纳、猜想、证明【例4】在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．审题视角(1)数列{an}的各项均为正数，且Sn＝12an＋1an，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出{an}的通项公式an，然后再证明．规范解答解(1)S1＝a1＝12a1＋1a1得a21＝1.∵an0，∴a1＝1，[1分]由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1.[2分]又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2.[3分](2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)[5分]证明：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立．[6分]②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k.即n＝k＋1时猜想成立．[11分]由①②知，an＝n－n－1(n∈N*)．[12分]温馨提醒(1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．(2)本题易错原因是，第(1)问求a1，a2，a3的值时，易计算错误或归纳不出an的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.方法与技巧1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n＝k到n＝k＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．2．对于证明等式问题，在证n＝k＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写．失误与防范1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．