数列求和问题-优质课件

求数列前n项和的常用方法：1.公式法3.分组求和法5.错位相减法2.倒序相加法4.裂项相消法①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤11()(1)22nnnaannSnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq1123(1)2nnn22221123(1)(21)6nnnn23333(1)1232nnn1.公式法即直接用求和公式,求前n项和Sn22(441)(961)0aabb解：由已知有分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和22494620abab23210099aababab1.3b1解得a=，222(31)0b即：（2a-1）23210099aababab1001()1aabab100111()2611610031(1).56例1：若实数a,b满足：求：例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。111111naa111nnnaaa例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：当a=1时，S当a1时，111111naSa1n；111nnnaaa1111nnnSaaan+1，a=1aS在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：倒序相加法在教材中是推导等差数列前n项和的方法的值求设例201120102011220111,244.3fffxfxx2.倒序相加法1005201120102011220111,1)1()(2424244244111fffxfxfxfxxxx解：3.分组求和法：若数列的通项可转化为的形式，且数列可求出前n项和与则nnnabc{}nc{}nbbscs{}na解（1）：该数列的通项公式为1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462)()482nn111(22)421212nnn111(1)22nnn例4.求下列数列的前n项和111112,4,6,,248162nn212nnSaaan练习：求212nnSaaan解：212naaann当a=1时S，12nnn21122nn1112naannan当a=0时S，12nn当a≠0且a≠1时，Sn=4.裂项相消法（或裂项法）：若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式}{na例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。111)1(1.1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn)(11.5bababa常见的拆项公式有：1123nan解：2(1)nn112()1nn111112[(1)()()]2231nSnn12(1)1n21nn1123nann练习：求的前项和5.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不等于1），数列满足：{}na{}nbnnab例7、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1①xSn=x+2x2+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。相减[分析]例7、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)Sn=1+x+x2++xn-1-nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-nxn………………直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序相加等差数列的求和方法错位相减数列{anbn}的求和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。裂项法分组求和法把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。常见求和方法适用范围及方法数列{1/f(n)g(n)}的求和，其中f(n),g(n)是关于n的一次函数。小结1111(1).147[(32)]2482nnSn221(2)1(1)(1)(1)nnSaaaaaa23(3).230nnSxxxnxx114313212114nnSn练习