数列求和的几种方法(1)

一．复习提问：1、等差数列求和公式：1()2nnaaSn=Sn=1(1)2nnnadSn=na1(当q=1时)1(1)1naqq(当q≠1时)2、等比数列求和公式:2(,)nSanbnabR(1)(0,01)nnSababb且11nnnaaqSq基本方法---公式法常用的公式有：(1)等差数列{an}的前n项和Sn=①=②.(2)等比数列{an}的前n项和Sn=③=④(q≠1).(3)12+22+32+…+n2=⑤.(4)13+23+33+…+n3=⑥.1()2nnaana1+d(1)2nn1(1)1naqq11naaqqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)21422221sin1sin2sin3sin89例：求值倒序相加2222sin89sin88sin87sin1S289S892S2222sin1sin2sin3sin89S令cos1sin8922sin1sin891例题1.求和)0)(()3()2(212xnxxxn(1)2)1(111nnxxn[解]原式=n(n+3)/2(x≠1)(x=1)分析:原式=(1+2+3+…+n)+012()nxxxx我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。A+G分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？我们把这种类型的数列称为“AG”型。此类方法类似于等比数列求和的公式的推导方法，叫做错位相减法。A*G错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.【错位相减法】设{an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝21－2n1－2－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2的数列如何来求和呢？型”1“BA的数列多为分母是两项乘积，分子相同的数列求和。求解时，一般把通项分裂成两项差的形式，再通过求和达到前后抵消的目的。此种求和的方法称为裂项法求和。型”“BA1裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．【裂项求和法】{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则Sn=BA1练习：指出下列求和的方法：1.111求,,,的和1447(3n-2)(3n+1)2.341nn1111求,,++的前n项和S1+223n111()33231nnn用裂项求和法.a1nnn用裂项求和法.a3.求12,23,,n(n+1)的和4.nnnn已知数列{a}的通项公式为a=(3n-1)p，求它的前n项之和S。2nnn用分项求和法.a2312312583(1)1(31)253(1)1(31)nnnnnpppnpnppSppnpnpn用错位相减法.S合并项求和•特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+…+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.并项法求和例(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+（3n-2）==n2-n,所以Sn=(12+22+32+…+n2)-(1+2+…+n)=n(n+1)(5n-2)(n∈N*).(2132)2nnn5232523216(2)当n是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］=-3-7-…-(2n-1)=.当n是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］=1+5+9+…+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1(n∈N*).(1)2nn(1)2nn(1)2nnzxxkw(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．数列求和的方法(2)解决非等差、等比和，两种思路：①转化的思想，即化为等差或等比数列．②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．数列求和的常用方法:(1)拆项（对A±G型如果拆项不明显，写出通项，如例2）２、设法消去中间项:（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);（3）裂通项,交替相消1、转化成等差、等比数列求和（公式法、分组求和法、错位相减法、裂（并）项法求和）