用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征（二）二、用样本的标准差估计总体的标准差数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述。为了表示样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差或者它的算术平方根.（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是22212(),(),,()nxxxxxx2222121[()()()]nsxxxxxxn来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，一组数据方差越大，则这组数据波动越大。那么我们用它们的平均数，即（2）标准差：我们把数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。222121[()()()]nsxxxxxxn计算标准差的算法：S2算出每个样本数据与样本平均数的差（i=1，2，……，n）；ixxS1算出样本数据的平均数x；S3算出（i=1，2，…，n）；2()ixxS4算出（i=1，2，…，n）这n个数的平均数，即为样本方差s2；2()ixxS5算出方差的算术平方根，即为样本标准差s。例1.计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.解：S1x=———————=85+7+7+8+10+116数据xiS1xS2xi－xS3(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839S4s2=———————=4；9+1+1+0+4+96S5.24s所以这组数据的标准差是2.例2.从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机地抽取10只进行寿命测试，得数据如下（单位：h）:1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496使用函数型计算器或计算机的Excel软件求样本的平均数x和样本的标准差。解：按键MODE2(进入统计计算状态)将计算器存储器设置成初始状态SHIFTScl=1458139515621614135114901478138215361496DTDTDTDTDTDTDTDTDTDT继续按下表按键按键显示结果1476.278.7309342SHIFTSHIFTxσn==x解2：打开Excel工作表，在一列输入数据，如将10个数据输入A1到A10单元格中.（1）利用求和∑计算它们的和；（2）用函数AVERAGE(A1:A10)求它们的平均数；（3）用函数VARPA(A1:A10)求它们的方差；（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们的标准差.例3.计算数据89，93，88，91，94，90，88，87的方差和标准差。（标准差结果精确到0.1）解：190(13214023)908x.所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3.例4.从甲、乙两名学生中选拔一人乘积射击比赛，对他们的射击水平进行测试，两人在相同的条件下各射击10次，命中环数如下﹕甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.（1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和标准差；（2）比较两人的成绩，然后决定选择哪一人参赛.解：（1）计算得x甲=7，x乙=7；s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相等，但s乙s甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选乙参赛。（3）标准差和频率直方图的关系从标准差的定义可知，如果样本各数据都相等，则标准差得0，这表明数据没有波动幅度，数据没有离散性；若个体的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也很大，数据的离散程度很高，因此标准差描述了数据对平均数的离散程度。AB样本数据3333311355平均数33标准差01.79频率分布直方图数据没有离散度数据离散程度很高1.00.80.60.40.212345123451.00.80.60.40.2再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平均数是25.401，样本标准差是0.056，再直方图中用虚线标出平均数所在的位置，并画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标准差的区间。可以看到大约有70%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差的区间内，即(x－s,x+s)大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－2s,x+2s)。ss2s2sx的平均数为，12,,,naxaxaxax（2）新数据方差为．22as，方差仍为．12,,,nxbxbxbxb2s（1）新数据的平均数为，方差为．12,,,naxbaxbaxbaxb22as的平均数为（3）新数据12,,,nxxxx2s如果数据的平均数为，方差为，则（4）方差的运算性质：练习：（3）若k1,k2,…,k8的方差为3，则2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的方差为____________3,,3,34,,,)1(2121的方差为，那么的方差为若nnxxxxxx____42,,,)2(21后的方差为这组数据均乘以，那么的方差为若nxxx432120D.0xxC.xxxx.B0A.x0x,x,x.6.______3X5231.5.D.C.B.A.4n21n21n21总体方差一定是）（，则表示的方差为，若样本是，则这个样本的标准差数是，若它的平均，，，，已知一个样本以上都不对标准差方差极差）（范围大小的指标是一组数据变化在数据统计中，能反映A2B（7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________9.5，0.016五、回顾小结：1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：用样本平均数估计总体平均数。用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为[(9.8－10)2+(9.9－10)2+(10.1－10)2+(10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.乙品种的样本平均数也为10，样本方差为[(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+(9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.因为0.240.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390灯泡数1111820251672解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)这些组中值的方差为[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16×(315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2]÷100=2128.60(天2).故所求的标准差约（天）466.2128答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.