高三数学综合题的解题策略

海安县实验中学高三复习专题第1页共29页高三数学综合题的解题策略【解题指津】所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题.在高三复习过程中，夯实解题基本功是十分重要的。这就要求我们在平时的解题训练中，要教会学生认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题，合理运用概念、公式、法则、定理、定律等，提高思维、运算的准确性，灵活运用数学思想方法进行等价转化，化繁为简，提醒学生多进行解题后的反思与探究,提高解题能力。现在，高考数学试题立足于当前中学数学的实际情况、教学条件和学生素质等特点，寓创新意识于其中，着重在试题由知识型向能力型的转化上进行积极的探索和创新。这些富有时代气息的试题，突出在对“三基”的考查中，增大思考量，减少计算量，较好地考查考生的思维品质、创新能力和学习潜能，使高考与素质教育形成良性互动。下面，我们从一下几个方面对综合题的解题策略作一些探讨.一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘.二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁.三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考.六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来.七、培养整体意识，把握整体结构。八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论.希望大家在解题过程中注意体会。【综合题精选】1.已知函数)2||,0,0)(sin()(AxAxf的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x）和（2,30x）.（I）求)(xf的解析式；（II）用列表作图的方法画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.解：（Ⅰ）由已知，易得A=2．3)3(200xxT，解得31,6T．把（0，1）代入解析式)3sin(2xy，得1sin2．又2，解得6．∴)63sin(2xy为所求．…………………………………………6分(Ⅱ)海安县实验中学高三复习专题第2页共29页x225421163x02232)63sin(2x020202.已知函数Rxxxxf,)(3.（I）指出)(xf在定义域R上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；（II）若a.b.c∈R，且0,0,0accbba，试证明：0)()()(cfbfaf.解：（Ⅰ）)(xf是定义域R上的奇函数且为增函数．（Ⅱ）由0ba得ba．由增函数，得)()(bfaf由奇函数，得)()(bfbf∴0)()(bfaf同理可得0)()(,0)()(afcfcfbf将上三式相加后，得0)()()(cfbfaf．3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=880312800012xx(0x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解:(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100小时,要耗油()(5.175.28408034012800013升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，衣题意得h(x)=(880312800013xx)·)1200(415800128011002＜＜xxxx,h’(x)=233264080800640xxxx(0＜x≤120＝令h’(x)=0，得x=80.当x∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;海安县实验中学高三复习专题第3页共29页当x∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数.∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.4.已知11a，nnanS2)1(n求na及nS．解：1221)1(nnnnnananSSa从而有111nnanna∵11a∴312a31423a3142534a314253645a∴)1(234)1()1(123)2)(1(nnnnnnnan∴122nnanSnn5.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周.1BCABl图②的过水断面为等腰梯形ADCDABABCD,,∥60,BADBC，过水湿周CDBCABl2.若ABC与梯形ABCD的面积都为S，（I）分别求21ll和的最小值；（II）为使流量最大，给出最佳设计方案.解（Ⅰ）在图①中，设ABC，aBCAB．则sin212aS．由于S.a.sin皆为正值，可解得SSa2sin2．当且仅当1sin，即90时取等号．所以Sal2221．在图②中，设mCDAB，nBC．60BAD可求得nmAD，mnmnS23)(21解得232mmSn．SSmmSmmSmnml423232233223222．当且仅当2332mmS，即334Sm时取等号．（Ⅱ）由于432，则2l的最小值小于1l的最小值．所以在方案②中当2l取得最小值时的设计为最佳方案．6.已知nnnSaa2311且，求na及nS．海安县实验中学高三复习专题第4页共29页解：∵1nnnSSa∴nnnSS221∴12211nnnnSS设nnnSb2则nb是公差为1的等差数列∴11nbbn又：∵2322111aSb∴212nSnn∴12)12(nnnS当2n时212)32(nnnnnSSa∴22)32(3nnna)2()1(nn12)12(nnnS7.设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn证：∵nnnn2)1(212)21()1(2nnnn∴212)1(nnnn∴2)12(31321nann∴2)1(2)1(2nannn8.如图，平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AC＝22，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，点O是点A'在底面ABCD上的射影，且点O恰好落在AC上.（1）求侧棱AA'与底面ABCD所成角的大小；（2）求侧面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；（3）求四棱锥C－A'ADD'的体积.解：（I）连OA1，则OA1平面ABCD于O∴AOA1就是侧棱1AA与底面ABCD所成的角在ACA1中，22,211ACCAAA22222121)22(822ACCAAA∴ACA1是等腰直角三角形∴451AOA，即侧棱AA1与底面ABCD所成角为45°，（II）在等腰ACARt1中，ACOA1，∴2211ACOA，且O为AC中点，ABoCDD'D'A'B'C'海安县实验中学高三复习专题第5页共29页过O作ADOE于E，连EA1。∵OA1平面ABCD于O，由三垂线定理，知ADEA1，∴∠EOA1是侧面11ADDA与底面ABCD所成二面角的平面角。∵∠ABC=90，22)22(2222BCACAB，∴底面ABCD是正方形。∴OE121AB。在EOARt1中，211EOOAEOAtg。即所求二面角的正切值为2。（Ⅲ）由（Ⅱ）知，,2,1BCADADEA31)2(222211OEOAEA。∴32111EAADSADDA。∵ADOEADEA,1，∴EOAAD1平面。∵11ADDAAD平面，∴平面EOAADDA111平面，它们的交线是EA1。过O作EAOH1，则11ADDAOH平面。3232111EAOAOEOH。又∵ACO是的中点，∴点C到平面11ADDA的距离3222OHh。∴324322323131!111hSVADDAADDAC。另解：3242431313111111!1111DCBAABCDADDABCCBADDACVVV9.已知等差数列的前n项和为a，前n2项和为b，求前n3项和．解：由题设aSnbSn2∴abaaannn221而)(2)()(22132|21221nnnnnnnaaaaaaaaa从而：)()()(32|212221213nnnnnnnnaaaaaaaaaS)(3)(3221abaaannn10.已知：如图，长方体ABCD—1111DCBA中，AB=BC=4，81AA，E为1CC的中点，1O为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB—1O的正切值；（II）异面直线AB与1EO所成角的正切值；（III）三棱锥1O——ABE的体积.解：（Ⅰ）取上底面的中心O，作ABOF于G，连1OO和1FO．由长方体的性质，得1OO平面ABCD，由三垂线定理，得ABFO1，则1OFO为二面角1OABC的平面角8,22111AAOOBCOF．海安县实验中学高三复习专题第6页共29页在OFORt1中，411OFOOOFOtg（Ⅱ）取11CB的中点G，连GO1和EG．易证明ABGO//1，则GEO1为所求2211ABGO．524222EG．在GEORt1中，5211GOEGGEOtg（Ⅲ）连BG，AG，由ABGO//1易证明//1GO平面ABE．ABSVVVBGEBGEAABEGABEO31112)444282(2132BGES∴16412311ABEOV11.已知等差数列{na}的公差为d，等比数列{nb}的公比为q，且，0nb（Nn），若)1,0,,1(loglog11aaNnnbbaaanan，求a的取值.解：由0nb得01b，0q由已知，得11111log)(log)1(bqbadnaanaqndnalog)1()1(∵1n，∴qdalog由对数定义得qad当0d，1q时，得0a，1a．当0d，1q时，得1a．这与已知1a相矛盾．当0d，1q时，得dqa1．综上：当1,0qd时，1,0aa当0d，1q时，a的取值集合为空集当0d，1q时，dqa112.已知*)(2142NnaSnnn求nnaaa和11,的关系式及通项公式na解：1214121111aaSa2)1(112214214nnnnnnaSaS②①：21112121nnnnnaaa即：nnnaa21211将上式两边同乘以n2得：12211nnnnaa即：12211nnnnaa显然：nna12是以1为首项，1为公差的AP海安县实验中学高三复习专题第7页共29页∴nnann1)1(121∴12nnna13.已知：如图，射线OA为y=2x(x0)，射线OB为y=–2x(x0)，动点P（x,y）在AOx的内部，OBPNM