1.3.1-二项式定理

•1．3二项式定理•1．3.1二项式定理•1．理解用组合知识推导二项式定理，弄清其运用范围．•2．理解通项的意义并会灵活应用．•3．区分项的系数与二项式系数．•4．会正用、逆用定理来解决一些简单的问题．•本节重点：二项式定理的推导及通项公式．•本节难点：如何利用计数原理推导出二项展开式．1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是n个因式(a＋b)的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的每一项，需要看由多少个因式(a＋b)中取a，多少个因式(a＋b)中取b，如果从k个因式中选取b，则就有n－k个因式中选a.∴积式为an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有Ckn个．合并同类项后为Cknan－kbk.2．二项展开式的特点：①它有n＋1项；②各项的次数即a与b的指数的和都等于二项式的次数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；④展开式中系数Ckn(k＝0、1、2、…、n)叫做第k＋1项的二项式系数，它们仅与二项式次数n有关．3．①Cknan－kbk是二项展开式中的第k＋1项，不是第k项，a与b不可随便更换；②(a－b)n的展开式通项为：Tk＋1＝Cknan－k(－b)k＝(－1)kCknan－kbk；③取a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn在解题中是很有用的，要认真体会，熟练掌握．•1．二项式定理•公式(a＋b)n＝所表示的规律叫做二项式定理．•2．(1)(a＋b)n的二项展开式中共有项．•(2)二项式系数：；•(3)二项展开式的通项公式：(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)它是展开式的第项．n＋1k＋1[例1]求3x＋1x4的展开式．•[分析]可直接应用二项式定理展开，也可先化简再展开．[解析]解法1：(直接法)3x＋1x4＝(3x)4＋C14(3x)31x＋C24(3x)21x2＋C34(3x)1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.解法2：(化简后再展开)3x＋1x4＝(3x＋1)4x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.•[点评]解法2形式较为简单，在展开二项式之前应根据二项式的结构特征进行必要变形，这是使运算求得简化的途径．如求(1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．求(x2＋1x2－2)4的展开式．[解析](x2＋1x2－2)4＝(x－1x)8＝(x－x－1)8＝C08x8＋C18x7·(－x－1)1＋C28x6·(－x－1)2＋C38·x5·(－x－1)3＋C48·x4·(－x－1)4＋C58·x3·(－x－1)5＋C68·x2·(－x－1)6＋C78·x(－x－1)7＋C88(－x－1)8＝x8－8x6＋28x4－56x2＋70－56x2＋28x4－8x6＋1x8.[例2]设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn.•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①展开式中“＋”与“－”相间隔；•②2的指数最高为n，依次递减至0且每一项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差．•解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．[解析]原式＝C0n·2n·10－C1n2n－1·11＋…＋(－1)k·Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.•[点评]解决这类问题要注意分析其结构特点，a的指数是从高到低，b的指数是从低到高，且a、b的指数和等于二项式的次数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中，二项式中的每一项只有两项的乘积，故需添加“1”凑成二项展开式的形式．•设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于•()•A．x5B．(x＋2)5•C．(x－1)5D．(x＋1)5•[答案]B•[解析]P＝[1＋(x＋1)]5＝(x＋2)5，故选B.[例3]求二项式x2＋12x10的展开式中的常数项．[分析]展开式中第r＋1项为Cr10(x2)10－r12xr，要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0＝1，x≠0.[解析]设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝Cr10(x2)10－r·12xr＝Cr10x20－52r·12r(r＝0,1…，10)．令20－52r＝0，得r＝8，∴T9＝C810·128＝45256.∴第9项为常数项，其值为45256.•[点评]二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为零的方法求得常数项．2x3＋1x7的展开式中常数项是()A．14B．－14C．42D．－42[答案]A[解析]设Tr＋1＝Cr7(2x3)7－r·1xr＝27－r·Cr7·x21－7r2.令21－7r2＝0，得r＝6.∴常数项为2C67＝14.[例4]若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列．求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项．•[分析]首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．[解析]通项为Tr＋1＝Crn·(x)n－r·124xr.由已知条件知：C0n＋C2n·122＝2C1n·12，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·124xr＝Cr8·2－r·x4－34r.令4－34r＝1，解得r＝4.∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝358x.(2)令4－34r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0、4、8时，对应的项才为有理项，有理项分别为：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.•[点评]利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项……等等．其通常解法就是据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围以满足题设的条件．若x＋1xn的展开式中含有常数项，则指数n必为()A．奇数B．偶数C．3的倍数D．6的倍数[解析]Tr＋1＝Crn(x)n－r·1xr＝Crnxn－3r2，要使展开式中含有常数项，必须n－3r＝0，即r＝n3.由于r∈N*，从而可知n为3的倍数．•[答案]C[例5](1)在(x－3)10的展开式中，求x6的系数．(2)求(1＋x)2·(1－x)5的展开式中x3的系数．[解析](1)(x－3)10的展开式的通项是Tk＋1＝Ck10x10－k(－3)k.令10－k＝6，∴k＝4.由通项公式可知含x6项为第5项，即T4＋1＝C410x10－4(－3)4＝9C410x6.∴x6的系数应为9C410.(2)利用通项公式．∵(1＋x)2的通项为Tr＋1＝Cr2·xr，(1－x)5的通项Tk＋1＝(－1)k·Ck5·xk.其中r∈{0,1,2}，k∈{0,1,2,3,4}．令k＋r＝3，则有k＝1r＝2，或k＝2r＝1或k＝3r＝0.∴x3的系数为－C15＋C12·C25－C35＝5.•[点评]要注意区分二项式系数与项的系数：二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关．(2009·全国Ⅱ·理13)(xy－yx)4的展开式中x3y3的系数为________．•[答案]6[解析]本题考查二项展开式的通项公式，以及二项展开式中项的系数．(xy－yx)4的展开式中的第(r＋1)项Tr＋1＝Cr4(－1)r(xy)4－r(yx)r令4－r2＝3，得r＝2，∴展开式中x3y3的系数为C24(－1)2＝6.•[例6]试判断7777－1能否被19整除？•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①76是19的倍数；•②7777＝(76＋1)77可用二项式定理展开．解答本题可用二项式定理求得(76＋1)77－1能被19整除．[解析]7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋C177·7676＋C277·7675＋…＋C7677·76＋C7777－1＝76(7676＋C1777675＋C2777674＋…＋C7677)由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．•[点评]在利用二项式定理证明整除问题或求余数的问题时要进行合理的变形，常用的变形手段与技巧是拆数，往往是将幂底数写成两数之和，其中一数是除数或其倍数，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．•如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n＋3＋7n＋5天后的那一天是星期几？(提示：转化为寻求对于任意自然数n,23n＋3＋7n＋5被7除的余数)[解析]由于23n＋3＋7n＋5＝8n＋1＋7n＋5＝(7＋1)n＋1＋7n＋5＝7n＋1＋C1n＋17n＋C2n＋17n－1＋…＋Cnn＋17＋Cn＋1n＋1＋7n＋5＝7(7n＋C1n＋17n－1＋C2n＋17n－2＋…＋Cnn＋1＋n)＋6.由此23n＋3＋7n＋5被7除所得余数为6.∴对于任意自然数n，经过23n＋3＋7n＋5天后的那一天是星期日．一、选择题1．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为()A．C68B．C58(－2)5C．C58D．C68(－2)6•[答案]C2．若x－1xn展开的第4项为x3项，则n等于()A．8B．9C．10D．11•[答案]B[解析]Tr＋1＝Crnxn－r－1xr＝Crn(－1)rxn－2r∴T4＝C3n(－1)3xn－6∴n－6＝3，∴n＝9，故选B.[解析]本题考查了二项式展开定理，要认清项的系数与二项式系数的区别C310(－x)3＝－C310x3，故选D.•3．(2010·江西文，3)(1－x)10展开式中x3项的系数为•()•A．－720B．720•C．120D．－120•[答案]D二、填空题4.2x－1x9的展开式中，常数项为________(用数字作答)．•[答案]672[解析]利用通项公式求解．∵Tr＋1＝Cr9(2x)9－r·－1xr＝(－1)r·29－rCr9·x9－32r，∴令9－3r2＝0，得r＝6.∴T常＝C69·(－1)6·23＝C39·23＝672.5.x－1x8展开式中x5的系数为________．•[答案]28[解析]由x－1x8展开式的通项公式，得Tr＋1＝Cr8x8－r·1－xr＝(－1)rCr8·x8－32r，令8－32r＝5，得r＝2，∴x5的系数为(－1)2·C28＝28.三、解答题6．设a0，若(1＋ax12)n的展开式中含x2项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x，求a的取值．[解析]由通项公式，Tr＋1＝Crn(ax12)r＝Crn·ar·xr2.若含x2项，则r＝4，此时的系数为C4n·a4；若含x项，则r＝2，此时的系数为C2n·a2；根据题意，有：C4n·a4＝9C2n·a2，即C4n·a2＝9C2n①又T3＝135x，即有C2n·a2＝135.②由①、②两式相除，得：C4nC2n＝9C2n135.结合组合数公式，整理可得：3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝53(舍去)．•将n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.•∵a0，∴a＝3.