排列组合典型模型及解法

排列组合安徽省马鞍山二中刘向兵加法原理：如果完成一件事情有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，......，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法。乘法原理：如果完成一件事情需要n个步骤，第一步有1m种不同的方法，第二步有2m种不同的方法，......，第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法。从n个不同的元素中取出)(nmm个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列从n个不同的元素中取出)(nmm个元素的所有排列的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号mnP表示)1()2)(1(mnnnnPmn排列数公式123)2)(1(nnnPnn全排列加法法则加法法则乘法法则排列)!(!mnnPmn排列数公式从n个不同的元素中取出)(nmm个元素组成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合从n个不同的元素中取出)(nmm个元素的所有组合的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号mnC表示组合数公式!)1()2)(1(mmnnnnPPCmmmnmn)!(!!mnmnCmn一、特殊元素和特殊位置优先策略T：排列组合的题型组合特殊元素和特殊位置优先策略【例1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种分析：甲、乙、丙有特殊要求，可以优先考虑。解：分两类计算：若甲排在第一位，若甲排在第二位，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有42331344PCP（种），故选B。二、相邻元素捆绑策略【例2】4个男同学、3个女同学站成一排，3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？分析：3个女同学可以看成一个整体，再与4个男同学排队。解：先把3个女同学排好，有33P，然后把女同学看成一个元素和男同学排队，有55P。由分步计数原理，有5533PP不同排法。三、不相邻问题插空策略【例3】4个男同学、3个女同学站成一排，任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？分析：女同学不相邻，可以插到男同学中间。解：先将男生排好，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生。由分步计数原理，有14403544PP种不同排法。相邻元素捆绑策略不相邻问题插空策略四、定序问题缩倍、空位等策略【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。解法一：（缩倍法）先将这7个人全排列，然后再除以甲、乙、丙3人的全排列。所以共有8403377PP种不同排法。解法二：（空位法）设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐余下的3个位置，有1种方法，所以共有84047P种不同排法。五、先选后排策略【例5】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？分析：显然有2个小球装入了同一个盒内，所以需要选出2个小球看做一组。解：第一步，从5个小球中选出2个组成一组，第二步，把这2个和另外3个看成4组放入盒内，所以共有2404425PC种装法。定序问题缩倍、空位等策略先选后排策略六、相同元素隔板策略【例6】现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？分析：因为名额没有差别，所以只要看这个学校分到几个名额即可。解：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有8469C种不同方法。七、正难则反策略【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？分析：甲、乙分到同一个班的情况只有一种，可用间接法，总体淘汰。解：四名学生中任两名学生分在一个班的种数是624C种，三组分到三个不同的班种数有363324PC种，而甲、乙被分在同一个班的有633P种，所以共有30种。相同元素隔板策略正难则反策略排列组合练习题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为……（C）（A）3353PP（B）863863PPP（C）3565PP（D）8486PP2．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（A）A．35B．815；C．25；D．15．3．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为_____11/15______（结果用分数表示）．4．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组2323yxnymx，只有一组解的概率是17/18．（用最简分数表示）5．从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为2/5.6．1,2,,n共有!n种排列12,,,naaa（2,nnN），其中满足“对所有1,2,,kn都有3kak”的不同排列有346n种．7．甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到DCBA、、、四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A服务的概率是______1/40______．8．现有20个数，它们构成一个以1为首项，-2为公比的等比数列，若从这20个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是2/5．9．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)nnnnnN的是（C）A．712nP；B．75nP；C．85nP；D．812nP．10．将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c，则函数cbxxxf2)(2图像与x轴无公共点的概率是7/36．11．甲、乙、丙3人安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有20种．12、(2013奉贤二模13)已知函数()64(1,2,3,4,5,6)fxxx的值域为集合A，函数1()2xgx，(1,2,3,4,5,6)x的值域为集合B，任意aAB，则aAB的概率是1/3．13、1袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为1/7．14、(2013浦东二模文12)某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于3的概率为2/3.15、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种?CA.6B.12C.9D.2416、马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?BA.60B.20C.36D.4517、用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数?AA.300B.360C.120D.24018、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?BA.45B.36C.9D.3019、六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数?DA.120B.64C.124D.50420.以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（D）A．34C；B．1387CCC．1387CC-6．D．4812C．21、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（B）A.8种B.12种C.16种D.20种22、计划在某画廊展开10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有？种576025544PP23、有8本互不相同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有？种1440552233PPP24、5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有？种排法28803455PP25、某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?2025P26、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植甲、乙两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求甲、乙两种作物间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有？种。1227、8个人排成一排，其中甲、乙、丙3人中，有两个相邻，但这3个不同时相邻排列，求满足条件的所有不同排法的种数。216002262355PCP28、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（D）A、150种B、147种C、144种D、141种29、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（B）种A、280B、240C、180D、9630、10名学生分坐两行，要求面对面坐下，但其中甲乙两个同学不可相邻也不可面对面，有多少种坐法？882214128822151010PPCCPPCP31、9人排成两排，第一排4人，第二排5人，规定甲不能排在第一排，乙不能排在第二排，共有几种不同的排法？14400771415PCC32、将组成篮球队的12个名额分配给7所学校，每校至少1个名额，问名额分配的方法共有多少种？462611C33、10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？35334477ppp34、已知直线21//ll，在1l上取3个点，在2l上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在1l、2l之间的交点（不包括1l、2l上的点）最多有几个？AA、18B、20C、24D、3635、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？AA.20B.12C.6D.436、某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同的排列方法有多少种？DA．720B．60C．480D．12037、5个小朋友站成一圈，一共有多少种不同的站法？DA.120B.60C.30D.2438、某展览馆计划4月上旬10天接待5个单位来参观，其中2个单位人较多，分别连续参观3天和2天，其他单位只参观1天，且每天最多只接待1个单位。问：参观的时间安排共()种。CA.30B.120C.2520D.3024039、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是：CA.6B.8C.10D.1640、三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?76839C