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教师1对1高中数学教研组黄林时间：2011年9月23日1第十二章排列组合二项式定理、概率统计难题荟萃例1、某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有37A种排法．由分步计数原理得：1×5×4×37A＝4200种．【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．例2在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST”的路线的条数与“TSETNOC”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T走到边上的C共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC”路线共有26＝64条．所以本题的答案为64×2－1＝127．【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同．借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法．例3：在正方形ABCD中，HGFE,,,分别为各边的中点，O为正方形中心，在此图中的九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？[思路分析]根据三角形的类型分为三类：直角三角形有DABRtDAERtHAERt,,共3种；以边AB为底的三角形GABOAB,共2种；过中点和中心的三角形有,,HGBDGBGBO共3种。由加法原理得，共有3238种不同类型的三角形。[简要评述]本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组DHDACFBGEO教师1对1高中数学教研组黄林时间：2011年9月23日2合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。例4：在多项式65(1)(1)xx的展开式中，含3x项的系数为多少？解1652323(1)(1)(161520)(151010)xxxxxxxx，所以含3x项的系数为1060515205。解26525122455(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxCxCxx，所以含3x项的系数为1515C。解3由组合原理03312221130065656565(1)(1)(1)(1)5CCCCCCCC。[简要评述]本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。例5：从数字0,1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于6的概率为多少？[思路分析]本题的基本事件是由6个不同的数字允许重复而且含0的条件下组成三位数，根据乘法原理可知基本事件的全体共有566180个。设三个数字之和等于6的事件为A，则A分为六类：数码(5,1,0)组成不同的三位数有2122AC个；数码(4,2,0)组成不同的三位数有2122AC个；数码(4,1,1)组成不同的三位数有13C个；数码(3,3,0)组成不同的三位数有12C个；数码(3,2,1)组成不同的三位数有33A个；数码(2,2,2)组成不同的三位数有1个，根据加法原理，事件A共有21211132222323120ACACCCA个。故201()1809PA。[简要评述]本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识求各个基本事件的总数。例6：若1002100012100(12)(1)(1)(1),,1,2,3,,ixeexexexeRi则012100eeee，012100eeee。[思路分析]将条件等式的左右两边比较，可知变形100100(12)3(2)(1)xx。利用赋值法，令(1)1x，则有100012100(321)1eeee；令(1)1x，则有10010001210032(1)5eeee。[简要评述]本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。例7：鱼塘中共有N条鱼，从中捕得t条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从塘中捕出n条鱼，发现其中有s条标志鱼。（1）问其中有s条标志鱼的概率是多少？（2）由此可推测塘中共有多少条鱼（即用,,tns表示N）？[思路分析]（1）由题意可知，基本事件总数为nNC。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼t条，无标志的鱼()Nt条，从而在捕出n条鱼中，有标志的s条鱼有stC种可能，同时无标志的()ns条鱼有nsNtC种可能，则捕出n条鱼中有s条鱼共有snstNtCC种可能。所以概率为snstNtnNCCC。（2）由分层抽样可知，,snntNtNs（条）。[简要评述]本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以教师1对1高中数学教研组黄林时间：2011年9月23日3及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。例8：某宾馆有6间客房，现要安排4位旅游者，每人可以进住任意一个房间，且进住各房间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件A：指定的4个房间各有1人；（2）事件B：恰有4个房间各有1人；（3）事件C：指定的某房间中有2人；（4）事件D：一号房间有1人，二号房间有2人；（5）事件E：至少有2人在同一个房间。[思路分析]由于每人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有6种等可能的方法，根据乘法原理，4个人进住6个房间有46种方法，则（1）指定的4个房间中各有1人有44A种方法，4441()654APA。（2）恰有4个房间各有1人有4464CA种方法，446445()618CAPB。（3）从4人中选2人的方法有24C种，余下的2人每人都可以去另外的5个房间中的任一间，有25种方法，2244525()6216CPC。（4）从4人中选1人去一号房间的方法有14C种，从余下3人中选2人去二号房间的方法有23C，再余下的1人可去4个房间中的任一间，1243441()627CCPD。（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至少有2人在同一个房间”的反面是“没有2人在同一个房间，即恰有4个房间各有1人”，13()()1()18PEPBPB。[简要评述]本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。（理）例9：甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为14，被乙解出而丙解不出的概率为112，被甲、丙两人都解出的概率是29。（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求该题被解出的概率以及解出该题人数的分布列和数学期望。[思路分析]（1）设,,ABC分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则有1(),41(),122().9PABPBCPAC即1()(1()),41()(1()),122()().9PAPBPBPCPAPC由此方程组解得1(),31(),42().3PAPBPC所以该题被乙独立解出的概率为1()4PB。（2）记D为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则2315()1()1(1())(1())(1())13436PDPDPAPBPC。1(0)()()()6PPAPBPC，1(3)()()()18PPAPBPC，教师1对1高中数学教研组黄林时间：2011年9月23日417(1)()()()()()()()()()36PPAPBPCPAPBPCPAPBPC，11(2)()()()()()()()()()36PPAPBPCPAPBPCPAPBPC。所以随机变量的分布列为：0123P1617361136118期望为1171115012363636184E。[简要评述]本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同时考查函数方程数学思想和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄清每一个随机变量“k”所对应的具体随机试验的结果。（理）例10：某一汽车前进途中要经过3个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是12；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是13，遇到绿灯的概率是23；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是35，遇到绿灯的概率是25。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？（2）在三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次数的期望是多少？[思路分析]根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，（1）111137232515P。（2）21221321233423525325575P。要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯的次数为随机变量，则有1222(0)25525P，1111(3)23318P，12213212334(1)23525325575P，11212313137(2)23323525390P，故得分布列0123P22534753790118所以234371649012325759018450E。[简要评述]本题重点考查相互独立事件的概率乘法公式的本质——同时发生，同时还考查互斥事件的概率。在具体解题中注意与递推有关的概率的计算。