3.复数复习课

（1）它的平方等于-1，即12i根据对虚数单位i的运算规定易知：44142431,,1,nnnniiiiii1.虚数单位是怎样定义的？一、基本知识虚数单位，规定：（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．形如的数，叫做复数．)R,(babia全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.)R,,|{babiazzC其中2.复数的表示形式是怎样的？当时，z是实数a．0b当时，z叫做虚数．0b通常用字母z表示，即),(Rbabiaz实部虚部复数当且时，叫做纯虚数．0b0azbi复数集C实数集R虚数集I例1：实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？(口答）immz)1(1解：（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．01m01m1m如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果，那么Rdcba,,,dbcadicbia,例2已知，其中，求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：更具复数相等的定义，得方程组)3(112yyx所以4,25yx3.两复数相等的充要条件是什么？xyOZ（a，b）x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点O，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点都表示非纯虚数。复数z=a+bi↔复平面内的点Z（a，b）↔平面向量OZ4.复数的几何意义是怎样的？5、复数的加法法则6、复数的减法法则（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i。注：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i7、复数的乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=注：1、复数的乘法与多项式的乘法类似，但必须在所得的结果中把i2换成-1，并把实部与虚部分开。ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i8、复数的除法))(())((dicdicdicbia（a+bi）÷（c+di)或dicbiadicbia22)(dciadbcbdacidcadbcdcbdac22229、补充概念。50)12(i例4：i2002+(+i)822;||)1(222bazbiaz的模复数;)2(数反数的复数互为共轭复即实部相等，虚部成相，－的共轭复数，记为：复数biazbiaz.)()()3(222zbabiabiazz－(4)复数的模可以比较大小，一般地，两个复数不能比较大小，除非两个复数都是实数才可以比较大小。例3：设w=求证：①1+w+w2=o②w3=1i2321典型例题：一、代数运算例6：实数m取什么值时，复数对应的点（1）位于第一、三象限？（2）位于第四象限？22(815)(514)mmmmi.,42zizz求复数已知例7：。＋是奇数，求若例nniin44)21()21(.5（A）1（B）－1（C）2（D）－2的值等于例8若复数z满足1－z+z2＝0，则222211111zz解：z2－z+1＝0，即(z+1)·(z2－z+1)＝0∴z1111＝(z3)370·z＝zz2222＝(z1111)2＝z2∴，故（A）正确．11112＝＝原式＝zzzz即z3+1＝0∴z3＝－1以下同解法1．例9.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.B.C.－D.22i1i2b23232解析：==∴2－2b=b+4，b=－.答案：C2i1i2b52i)-i)(12(b5i)4(22bb32例10当＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限32解析：z对应的点为(3m－2，m－1)，∵＜m＜1，∴0＜3m－2＜1，－＜m－1＜0.答案：D3231例11.设f(n)=()n+()n(n∈Z)，则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是A.1B.2C.3D.无穷多个i1i1i1i1解析：∵f(n)=in+(－i)n，∴f(0)=2，f(1)=i－i=0，f(2)=－1－1=－2，f(3)=－i+i=0.∴｛x｜x=f(n)｝=｛－2，0，2｝.答案：C例12若复数z满足，则的值为.izz111z例13复数z满足z·+z+=3，则z对应点的轨迹是____________.zz解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆典型例题：二、复数几何意义的运用例15若，则的最大值为.iz2z例16若，若使的最小，求b的值。iziz322)(Rbbiz例17设复数z满足，试求的最大值和最小值。ziz332z