《电动力学》

郭硕鸿《电动力学》课后答案1/40第二章静电场1.一个半径为R的电介质球，极化强度为2/rKrP，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。解：（1）Pp2222/)]/1()/1[()/(rKrrKrKrrr)(12PPnpRKRrr/Pe（2）)/(00PPED内200)/()/(rKfPD内（3）)/(/0PDE内内rrfrKRrVeeDE200200)(4d外外rKRr)(d00rE外外)(lndd00rRKRRrrErE外内内（4）RRrrrRKrrrKVW42200222022202d4)(21d4)(21d21ED200))(1(2KR2.在均匀外电场中置入半径为0R的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0；（2）导体球上带总电荷Q解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。当0RR时，电势满足拉普拉斯方程，通解为nnnnnnPRbRa)(cos)(1因为无穷远处0EE，)(coscos10000RPERE所以00a，01Ea，)2(,0nan当0RR时，0所以0101000)(cos)(cosnnnnPRbPRE郭硕鸿《电动力学》课后答案2/40即：002010000/,/RERbRb所以)2(,0,),(30010000nbREbRbn)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE（2）设球体待定电势为0，同理可得)()(/cos/)(cos000230000000RRRRRRERRRE当0RR时，由题意，金属球带电量Qddsin)cos2cos(d2000000000RERESnQRR)(40000R所以00004/)(RQ)(4/)(cos)/(4/cos00002300000RRRQRRRRERQRE3.均匀介质球的中心置一点电荷fQ，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法空间各点的电势是点电荷fQ的电势RQf4/与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：）（）（内cos1nnnnnnPRbRa）（）（外cos1nnnnnnPRdRc当R时，0外，0nc。当0R时，内为有限，0nb。所以）（内cosnnnnPRa，）（外cos1nnnnPRd由于球对称性，电势只与R有关，所以)1(,0nan)1(,0ndn0a内，Rd/0外所以空间各点电势可写成RQaf40内RQRdf40外郭硕鸿《电动力学》课后答案3/40当0RR时，由外内得：000/Rda由nn外内0得：20002002044RdRQRQff，)11(400fQd则)11(4000RQaf所以）（内114400RQRQff）（外11440RQRQffRQf04（二）应用高斯定理在球外，RR0，由高斯定理得：fpfQQQQd总外sE0，（整个导体球的束缚电荷0pQ），所以rfRQeE204外，积分后得：RQdRRQdfRRf02044RE外外在球内，RR0，由介质中的高斯定理得：fQdsE内，所以rfRQeE24内，积分后得：RQRQRQddfffRRR0044400RERE外内内结果相同。8.半径为0R的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a处（a0R）置一点电荷fQ，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势cos24/221RaaRQf，二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，2与无关。由于0R时，2为有限值，所以球内的2解的形式可以写成nnnniPRa)(cos2（1）由于R时，2应趋于零，所以球外的2解的形式可以写成nnnnPRb)(cos12o（2）郭硕鸿《电动力学》课后答案4/40由于nnnPaRaRaaR(cos))/()/1(cos222nnnfPaRaQ(cos))/()4/(1（3）当0RR时，21i内nnnnnnnfPRaPaRaQ)(cos(cos))/()4/(（4）当0RR时，21o外nnnnnnnfPRbPaRaQ)(cos(cos))/()4/(1（5）因为导体球接地，所以0内（6）000RR内外（7）将（6）代入（4）得:14/nfnaQa（8）将（7）代入（5）并利用（8）式得:11204/nnfnaRQb（9）将（8）（9）分别代入（4）（5）得:)(00RR内（10）]/cos2)/(cos2[41202202022aRRaRRaQRRaaRQff外,)(0RR（11）用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q’。由对称性，Q’在球心与Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略）aRr/200，aQRQf/'0所以空间的电势为]/cos2)/(cos2[41)'(4120220202221aRRaRRaQRRaaRQrQrQfff外)(0RR9.接地的空心导体球的内外半径为1R和2R，在球内离球心为a处(a1R)置一点电荷Q。用镜像法求电势。导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？解：假设可以用球外一个假想电荷'Q代替球内表面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性，'Q应在球心与Q的连线上。考虑球内表面上任一点P，边界条件要求：0'/'/RQRQ(1)式R为Q到P的距离，R’为'Q到P的距离，因此，对球面上任一点，应有QQRR/'/'常数(2)只要选择'Q的位置，使OPQPOQ~'，则OQ'Q1RR'RP郭硕鸿《电动力学》课后答案5/40aRRR//'1常数(3)设'Q距球心为b，则aRRb//11，即aRb/21(4)由（2）（3）两式得:aQRQ/'1]/cos2//cos2[412124121220aRRaRRaQRRaaRQ导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为Q，分布于内表面。由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，0外。12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电势。解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。22200)()()(1[4bzayxxQ2220)()()(1bzayxx)0,(,])()()(1)()()(122202220zybzayxxbzayxx第六章狭义相对论2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。解：根据相对论速度交换公式可得2'系相对于1'的速度大小是)/1/(2'22cvvv（1）∴在1'系中测量2'系中静长为0l的尺子的长度为220/'1cvll（2）将（1）代入（2）即得：)/1/()/1(22220cvcvll（3）此即是在1'系中观测到的相对于2'静止的尺子的长度。6.在坐标系中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为'系,又取固着于AB两物体的参考系为系.在中,AB以速度u沿x轴运动,相距为l；在系中,AB静止相距为l0，有：220/1cull),,(0baxQ),,(0baxQ),,(0baxQ),,(0baxQabyz郭硕鸿《电动力学》课后答案6/40220/1cull又'系相对于以速度v沿x轴运动，系相对于系以速度u沿x轴运动，由速度合成公式系相对于'系以速度2/1'cuvvuv沿'x轴运动，所以，在'系中看到两物体相距222220/1/1/'1'cuvcvlcvll2、电荷为e质量为m的粒子在均匀电场E内运动，初速度为零，试确定粒子的运动轨迹与时间的关系，并给出非相对论的情况。郭硕鸿《电动力学》课后答案7/40