全等三角形复习和例习题含答案

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。图13-3图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。ABDCEB’A’C’D’E’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4.证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等。图13-6图13-75.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例1：（1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm，13cm，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B,∠C-∠A=80°，求∠C。解：（1）设第三边为xcm，则132132x即1115x周长Lxx21315的范围是1511151515x即2730L又L为偶数L28Lx1528x13ABDECADCBAE6654BDC即第三边长为13cm（2）ACB2ABCACBBBB()23180B60ACB2120又CA80由ACCA12080得AC20100C100例2：已知，在△ABC中，AD是角平分线，B66，C54，DEAC于E，求：ADB和ADE[考点透视]考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质[参考答案]解：由三角形内角和定理，得BACBC180180665460()又AD平分BACCADBAC12126030ADBCADC305484（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在RtADE中ADECAD90903060（直角三角形的两个锐角互余）例3：已知：在ABC和ABC'''中AABBCDAB''，，于D，CDAB''''于D’，且CDCD''求证：ABCABC'''AA’DD’BCB’C’[考点透视]如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。[参考答案]证明：在RtADC和RtADC'''中AAADCADCCDCD''''''90RtADCRtADCAAS'''()ACAC''（全等三角形对应边相等）在ABC和ABC'''中AABBACAC''''ABCABCAAS'''()三．适时训练（一）精心选一选1．在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，且△ABC≌△DEF，BC=EF，点A的对应顶点是D，下列说法正确的是（）A.∠C与∠F互余B.∠C与∠D互余C.∠B与∠F互余D.∠A与∠E互余2．如图，△ABC中，AB=AC，CE、BD分别是AB、AC边上的中线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，则图中全等三角形共有（）A.3对B.4对C.5对D.6对3．如图，△ACD中，AB⊥CD且BD＞CB，△BCE和△ABD都是等腰Rt△，下列结论①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE；正确的是（）A.①②③B.①C.①③④D.②③④4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠度数为（）A.60°B.70°C.80°D.90°5．下列命题正确的是（）A.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.一条直角边和斜边上的高对应相等的两个Rt△全等6.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）垂直平分线已知7.下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（）（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF（B）AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（C）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长（二）细心填一填1．如图2-1，一长方形ABCD纸片，以EF为折痕折叠，点B落在点M，EN是∠MEC的角平分线，则∠FEN=2．如图2-2，在△ABC中，∠BAC:∠ABC:∠ACB=3:5:10，且△ABC≌△，则∠1:∠2=3．如图2-3，若△ABC≌△ADE，∠E=∠C，∠1=20°，则∠2=4．如图2-4，在正方形ABCD中，E是AD中点，F是BA延长线上一点，AB=2AF，在图中可通过（填“平移”，“翻折”，或“旋转”）使△ABE变到△ADF的位置，这时BE与DF之间的位置关系是5．如图2-5，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△BDE的周长是6.已知，如图2-6，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形．7.如图2-7，△ABC≌△ADE，则，AB=，∠E=∠．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=°．8.在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件，或．9.把两根钢条AA?、BB?的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图2-9，若测得AB=5厘米，则槽宽为米。10.工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的。图2-1图2-2图2-3图2-4图2-5图2-6图2-7图2-9图2-10三、认真答一答1．如图，AB=AD，AC=AE，且∠DAB=∠CAE，BE与CD交于点P，AP的延长线交BC于F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。2．如图，AM为△ABC的中线，AE⊥AB，AF⊥AC，且AE=AB，AF=AC，MA的延长线交EF于点P，求证：AP⊥EF。3.已知：如图，C为BE上一点，点A分别在BE两侧.AB∥ED,AB=CE,BC=ED.求证:AC=CD.4．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.ACEDB求证：AB=CD5．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若60A，12DCBEBCA，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60º的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且12DCBEBCA，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.6.已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F。求证：DE=DF。7．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．8．如图，已知在△ABC中AB=AC，D为BC边的点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F。（1）求证：△BED≌△CFD;（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形。9．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．10.八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；（Ⅱ）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.图1图2阅读后回答下列问题：（1）方案（Ⅰ）是否可行？请说明理由。AED24BFC31（2）方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由。（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？.1