对称性应用(一)——含绝对值函数的图象

第1页共4页对称性应用（一）——含绝对值函数的图象熊明军在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。一、含绝对值的函数常见情况的分类：已知函数Rxxfy,，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。①对自变量x取绝对值：Rxxfy,；②对应变量y取绝对值：Rxxfy,；③对yx,全都取绝对值：Rxxfy,；④对整个函数取绝对值：Rxxfy,；⑤对xfx,都取绝对值：Rxxfy,；⑥部分自变量取绝对值：Rxxxfy,,。二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x取绝对值：Rxxfy,【特征分析：】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，则该点与点yx,关于y轴对称。因为点yx,与yx,都在函数xfy上，所以其函数图象关于y轴对称。【作图步骤：】（1）作出函数xfy的图象；（2）保留0x时函数xfy的图象；（3）当0x时，利用对称性作出（2）中图象关于y轴对称后的图象。【作图展示：】作函数22xxfy的图象第2页共4页②对应变量y取绝对值：Rxxfy,；【特征分析：】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，则该点与点yx,关于x轴对称。因为点yx,与yx,都在函数xfy上，所以其函数图象关于x轴对称。【作图步骤：】（1）作出函数xfy的图象；（2）保留0y时函数xfy的图象；（3）当0y时，利用对称性作出（2）中图象关于x轴对称后的图象。【作图展示：】作函数22xxfy的图象③对yx,全都取绝对值：Rxxfy,；【特征分析：】已知函数Rxxfy,，设yx,是函数图象上任意一点，它与点yx,关于x轴对称、与点yx,关于y轴对称且与点yx,关于原点对称。因为点yx,、yx,、yx,与yx,都在函数xfy上，所以函数图象关于x轴、y轴及原点对称。【作图步骤：】（1）作出函数xfy的图象；（2）保留0,0yx（第一象限）时函数xfy的图象；（3）利用对称性作出（2）中图象关于x轴、y轴及原点对称后的图象。【作图展示：】作函数22xxfy的图象第3页共4页④对整个函数取绝对值：Rxxfy,；【特征分析：】已知函数Rxxfy,，当0xf时xfxfy；当0xf时xfxfy。函数xfy的图象在0xf时不变，在0xf时xfy图象关于x轴对称。【作图步骤：】（1）做出xfy的图象；（2）保留0xfy的函数图象（x轴上方图象）不变；（3）当0xfy时，利用对称性作出x轴下方图象关于x轴对称后的图象。【作图展示：】作函数22xxfy的图象⑤对xfx,都取绝对值：Rxxfy,【特征分析：】已知函数Rxxfy,，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令xfu（偶函数），则uy。【作图步骤：】（1）利用xfy的方法步骤作出函数xfu的图象；（2）利用xfy的方法步骤作出函数uy的图象。【作图展示：】作函数22xxfy的图象⑥部分自变量取绝对值：Rxxxfy,,。【特征分析：】已知函数Rxxxfy,,，这种类型的函数没有统一的特点，必须先第4页共4页利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。