实变函数测试题与答案

实变函数试题一，填空题1.设1,2nAn,1,2n,则limnnA.2.,,ab,因为存在两个集合之间的一一映射为3.设E是2R中函数1cos,00,0xyxx的图形上的点所组成的集合，则E，E.4.若集合nER满足EE,则E为集.5.若,是直线上开集G的一个构成区间,则,满足:,.6.设E使闭区间,ab中的全体无理数集,则mE.7.若()nmEfx()0fx,则说()nfx在E上.8.设nER,0nxR,若,则称0x是E的聚点.9.设()nfx是E上几乎处处有限的可测函数列,()fx是E上几乎处处有限的可测函数,若0,有,则称()nfx在E上依测度收敛于()fx.10.设()()nfxfx,xE,则()nfx的子列()jnfx,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例.1.若,AB可测,AB且AB,则mAmB.2.设E为点集,PE,则P是E的外点.3.点集11,2,,En的闭集.4.任意多个闭集的并集是闭集.5.若nER,满足*mE,则E为无限集合.三,计算证明题1.证明:ABCABAC2.设M是3R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M为可数集.3.设nER,iEB且iB为可测集,1,2i.根据题意,若有*0,imBEi,证明E是可测集.4.设P是Cantor集,32ln1,(),0,1xxPfxxxP.求10(L)()fxdx.5.设函数()fx在Cantor集0P中点x上取值为3x,而在0P的余集中长为13n的构成区间上取值为16n,1,2n,求10()fxdx.6.求极限:13230lim(R)sin1nnxnxdxnx.实变函数试题解答一填空题1.0,2.2.()tan,,.2xxaxabba3.1(,)cos,0(0,)1xyyxyyx;.4.闭集.5.,.,.GGG6.ba.7.几乎处处收敛于()fx或a.e.收敛于()fx.8.对000,(,)Ux有0Ex.9.lim()()0nnmEfxfx10.()()nfxfxa.e.于E.二判断题1.F.例如,(0,1)A,0,1B,则AB且AB,但1mAmB.2.F.例如,0(0,1),但0不是(0,1)的外点.3.F.由于0EE.4.F.例如,在1R中,11,1nFnn,3,4n是一系列的闭集,但是3(0,1)nnF不是闭集.5.T.因为若E为有界集合,则存在有限区间I,I,使得EI,则**,mEmII于*mE.三,计算证明题.1.证明如下:SSSSSABCABCABCABCABACABAC2.M中任何一个元素可以由球心(,,)xyz,半径为r唯一确定,x,y,z跑遍所有的正有理数,r跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M为可数集.3.令1iiBB,则iEBB且B为可测集,于是对于i,都有iBEBE,故**0imBEmBE,令i,得到*0mBE,故BE可测.从而EBBE可测.4.已知0mP,令0,1GP,则13202210130(L)()(L)ln1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGfxdxxdxxdxfxdxxdxxdxfxdxx.5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合:0P,1G,2G,其中0P为Cantor集,nG是0P的余集中一切长为13n的构成区间(共有12n个)之并.由L积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP,可得01000010111111()()()()()1()61126631112916nnPGPGnnPGnnnnnnnnnnfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxfxdxdxmG6.因为323sin1nxnxnx在0,1上连续,13230(R)sin1nxnxdxnx存在且与13230(L)sin1nxnxdxnx的值相等.易知323232323211sin.11122nxnxnxnxnxnxnxxx由于12x在0,1上非负可测，且广义积分1012dxx收敛，则12x在0,1上(L)可积，由于323limsin01nnxnxnx，0,1x，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到11332323001323010lim(R)sinlim(L)sin11limsin100nnnnxnxnxdxnxdxnxnxnxnxdxnxdx.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）1.非可数的无限集为c势集2.开集的余集为闭集。3.若mE=0，则E为可数集4.若|f(x)|在E上可测，则f(x)在E上可测5.若f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上可积二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）1.______可数集之并是可数集。A.任意多个B.c势个?C.无穷多个D至多可数个2._____闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个3.可数个开集之交是_____A开集B闭集CF型集DG型集4.若|f|在E上可积，则_______A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：1.S-S=(S-S)2.E[fa]=E[fa-]五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有?|f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）1.sin(nx)d=?2.设f(x)=求d=?3.设f(x)=?n=2,3,…,?求d=?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)1.非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。2.开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。3.若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。4.若|f(x)|在E上可测，则f(x)在E上可测（不正确！如）5.若f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1．至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个B.c势个C.无穷多个D至多可数个2.有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个3.可数个开集之交是G型集A开集B闭集C?F型集D?G型集4.若|f|在E上可积，则f在E上几乎处处有限A.f在E上可积B.f在E上可测C.f在E上有界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。四、证明下列集合等式1.S-S=(S-S)解：=(S-S)2。E[fa]=E[fa-]证明：所以，同理，???故五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。?证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。??故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x)a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有|f|d|f|d证明：因为f(x)f(x)a.e于E，对任意由Fatou引理知|f|d≤|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d=|f|d≤|f|d另一方面，|f|d=|f|d≤|f|d|f|d=|f|d=|f|d-|f|d|f|d故|f|d≤|f|d≤|f|d即|f|d=|f|d七、计算下列各题：1．sin(nx)d=?解：因为?sin(nx)0于[0，1]第3页?共4页??且||≤1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02．设f(x)=求d=?解：所以3．设f(x)=????n=2,3,…,?求d=?解：因为f(x)=???n=2,3,…,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：d=。一、选择题(共10题，每题3分，共30分)1.设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是【】(A)Q(B)(C)R(D)QR2.设nF是一列闭集，1nnFF，则F一定是【】(A)开集(B)闭集(C)G型集(D)F型集3.设E是R中有理数全体，则mE【】(A)0(B)1(C)＋∞(D)-∞4.下面哪些集合的并组成整个集合的点【】(A)内点，界点，聚点(B)内点，界点，孤立点(C)孤立点，界点，外点(D)孤立点，聚点，外点5.设P是Cantor集，则【】(A)P与nR对等，且P的测度为0(B)P与nR对等，且P的测度为1(C)P与nR不对等，P的测度为0(D)P与nR不对等，P的测度为16.设)(xf与)(xg在E上可测，则gfE是【】(A)可测集(B)不可测集(C)空集(D)无法判定7.设)(xf在可测集E上有定义，nxfxfn),(min)(，则)(xfn是【】(A)单调递增函数列(B)单调递减函数列(C)可积函数列(D)连续函数列8.设E是任一可测集，则【】(A)E是开集(B)E是闭集(C)E是完备集(D)对任意0，存在开集EG，使)(EGm9．设QQ]1,0[21]1,0[2sin)(x,xx,x